设X的pdf为$f(x)=\frac{1}{2}x$，求Y=min(1,X)的累积分布函数（附错解）

问题背景 #

• 已知随机变量X的概率密度函数（pdf）为：$f(x) = \frac{1}{2}x$，其中$x \in [0,2]$
• 需要计算随机变量 $Y = min(1,X)$ 的累积分布函数（CDF）

你的求解尝试 #

$\mathbb P(min(1,X)\leq t) = \mathbb P(X\geq1)\mathbb P(t\geq 1) + \mathbb P(X\geq1)\mathbb P(t\geq 1) = 0 + F(1)F(t) = \frac{t^2}{16}$，但这并非合法的累积分布函数。

错误分析 #

你这里的推导逻辑明显出问题啦！首先对min(1,X)的概率转换理解错了，不仅重复写了相同的项，还错误地使用了概率乘法，这样得到的结果自然不满足CDF的基本性质（单调不减、右连续，且当t→-∞时为0，t→+∞时为1）。

正确解法 #

我们从CDF的定义出发：$F_Y(t) = P(Y \leq t) = P(min(1,X) \leq t)$，需要根据t的取值范围分情况讨论：

1. 当 $t < 0$ 时
   X的取值范围是[0,2]，所以min(1,X)的最小值是0，不可能小于0，因此：
   $$F_Y(t) = 0$$

2. 当 $0 \leq t < 1$ 时
   此时min(1,X) ≤ t等价于X ≤ t（因为1比t大，只要X不超过t，min的结果就会≤t）。先计算X的CDF：
   $$F_X(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{4}t^2$$
   所以此时：
   $$F_Y(t) = \frac{1}{4}t^2$$

3. 当 $t \geq 1$ 时
   不管X取[0,2]中的任何值，min(1,X)要么是X（当X≤1时，X≤1≤t），要么是1（当X>1时，1≤t），都满足≤t，因此：
   $$F_Y(t) = 1$$

最终Y的CDF #

综合以上三种情况，Y的累积分布函数为：
$$
F_Y(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \
\frac{1}{4}t^2, & 0 \leq t < 1 \
1, & t \geq 1
\end{cases}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maffred