寻求满足特定积分条件的解析（优先初等）函数集合
嘿，这问题挺有意思的——要找解析甚至初等的函数集，替代那个分段的非解析构造来满足$\int_a^{x_m}f_n(x) dx = \delta_{m,n}$对吧？我整理了几个可行的思路，都是基于初等解析函数的性质来实现的：
思路1：基于无穷拉格朗日插值的有理函数构造
首先选一个收敛速度够快的序列，比如几何序列：$x_n = a + r^n$，其中$0 < r < 1$（显然满足$x_{n+1} < x_n$，而且当$n\to\infty$时$x_n \to a$）。
我们先定义原函数$F_n(x) = \int_a^x f_n(t)dt$，它需要满足：
- $F_n(a) = 0$（毕竟积分下限是a）
- $F_n(x_m) = \delta_{m,n}$（只有当m=n时取1，其他情况都是0）
用无穷乘积来定义这个原函数就很合适：
$$F_n(x) = (x - a) \cdot \prod_{\substack{k=1\k \neq n}}^\infty \frac{x - x_k}{x_n - x_k}$$
这个无穷乘积在区间$(a, x_1)$内是收敛的（几何序列的项衰减得足够快，保证乘积不会发散），而且$F_n(x)$是解析函数。对它求导就能得到我们要的$f_n(x)$：
$$f_n(x) = F_n'(x)$$
虽然这是有理函数的无穷组合，但收敛性保证了它在$(a, x_1)$内是解析的；如果你需要严格的初等函数，取有限项截断的近似版本就行，效果也能满足需求。
思路2：用指数函数构造严格初等的解析集
如果想要完全初等的解析函数，我们可以结合指数函数和收敛的无穷乘积来构造，核心是让原函数在所有$x_m(m≠n)$处取值为0，仅在$x_n$处取1：
- 先做个变量替换简化问题：令$y = x - a$，这样序列变成$y_n = x_n - a$，满足$y_{n+1} < y_n$且$y_n \to 0^+$。这里选$y_n = e^{-n}$（简单的指数衰减序列）就很方便。
- 定义原函数$G_n(y) = \int_0^{y} f_n(a + t)dt$，要求$G_n(y_m) = \delta_{m,n}$。我们可以用指数函数的乘积来构造：
$$G_n(y) = \frac{e^{n/y} - e^{n/y_n}}{\prod_{\substack{k=1\k \neq n}} (e^{k/y_n} - e^{k/y_k})} \cdot \prod_{\substack{k=1\k \neq n}} (e^{k/y} - e^{k/y_k})$$
这个构造刚好满足：- 当$y = y_n$时，分子分母抵消后乘积为1；
- 当$y = y_m(m≠n)$时，分子中的乘积项会因为$k=m$时$e^{m/y_m} - e^{m/y_m}=0$，导致整个$G_n(y_m)=0$。
- 对$G_n(y)$求导，再换回x变量，就得到初等解析的$f_n(x)$：
$$f_n(x) = G_n'(x-a)$$
核心思路总结
不管用哪种方法，核心都是用解析函数的乘积/组合来模拟“仅在$x_n$附近有非零积分贡献”的效果，同时严格保证在其他$x_m$处的积分值为0。对比你提到的分段非解析构造，解析版本虽然复杂一点，但完全满足你要的解析/初等函数要求。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者F. Jatpil
