基于生成函数的约束组合问题求解疑问咨询

我来帮你把这两个组合分配问题的解法理清楚，尤其是你卡住的第二个生成函数推导部分～

首先，这类有限制的相同物品选取问题，生成函数是最直接的工具：

• 每类玩具的选取数量范围是2到6，对应单个类的生成函数为：t² + t³ + t⁴ + t⁵ + t⁶，可以化简为 t²(1 - t⁵)/(1 - t)（用等比数列求和公式）
• 7类玩具的总生成函数就是单个类生成函数的7次方：

  [t²(1 - t⁵)/(1 - t)]⁷ = t¹⁴ · (1 - t⁵)⁷ · (1 - t)⁻⁷
  

• 我们需要找的是t²⁵的系数，也就是t¹¹在(1 - t⁵)⁷ · (1 - t)⁻⁷中的系数。

接下来展开计算：

1. 用二项式定理展开(1 - t⁵)⁷：

   (1 - t⁵)⁷ = 1 - C(7,1)t⁵ + C(7,2)t¹⁰ - C(7,3)t¹⁵ + ...
   

   由于我们要找t¹¹的系数，t¹⁵及更高次项的系数对结果无影响，可以忽略。
2. (1 - t)⁻⁷的t^k系数是组合数C(k + 7 - 1, k) = C(k + 6, k)（这是无限制分配的组合数公式，对应“k个相同物品分到7个盒子”的选法数）。

所以最终的系数为：

• t¹¹在1·(1-t)⁻⁷中的系数：C(11 + 6, 11) = C(17, 11)
• 减去t¹¹在C(7,1)t⁵·(1-t)⁻⁷中的系数：C(7,1)·C(11-5 + 6, 11-5) = 7·C(12,6)
• 加上t¹¹在C(7,2)t¹⁰·(1-t)⁻⁷中的系数：C(7,2)·C(11-10 + 6, 11-10) = 21·C(7,1)

计算数值的话：C(17,6) -7*C(12,6)+21*C(7,1) = 12376 -7*924 +21*7 = 12376-6468+147=6055

你之前写的生成函数有个小笔误，正确的生成函数应该是这样推导的：

• 第一个盒子最多放10个，所以它的生成函数是1 + t + t² + ... + t¹⁰ = (1 - t¹¹)/(1 - t)
• 剩下6个盒子没有限制（默认允许放空），每个的生成函数是1 + t + t² + ... = 1/(1 - t)，所以6个盒子的总生成函数是1/(1 - t)^6
• 整体生成函数就是：

  (1 - t¹¹)/(1 - t) · 1/(1 - t)^6 = 1/(1 - t)^7 - t¹¹/(1 - t)^7
  

现在要找t²⁵的系数，就对应两部分的系数相减：

1. 1/(1 - t)^7的t²⁵系数：对应无限制分配25个球到7个盒子的选法数，公式是C(25 + 7 - 1, 25) = C(31, 25) = C(31,6)
2. t¹¹/(1 - t)^7的t²⁵系数：等价于1/(1 - t)^7的t¹⁴系数（因为t¹¹ * t¹⁴ = t²⁵），对应第一个盒子先放11个球，剩下14个球无限制分配到7个盒子的选法数，即C(14 +7 -1,14)=C(20,14)=C(20,6)

所以最终的分配方式数就是：C(31,6) - C(20,6)

计算数值的话：C(31,6)=736281，C(20,6)=38760，所以结果是736281-38760=697521

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rannoudanames