求解指定压力函数下某点梯度及指定方向压力初始变化率

已知某区域内的压力函数为：
$$P = x^2y - xe^z + y\sin(2xz)$$

需要完成两个任务：

1. 确定点$(1,2,0)$处的压力梯度；
2. 确定从该点出发沿向量$\boldsymbol{v}=2\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$方向行走的人感受到的压力初始变化率。

任务1：计算点$(1,2,0)$处的压力梯度 #

压力梯度$\nabla P(x,y,z)$是由$P$对$x,y,z$的偏导数组成的向量，即：
$$\nabla P = \left( \frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial P}{\partial z} \right)$$

你已经完成了部分偏导数的推导，我来补全并代入点值：

• 对$x$的偏导数：
  $$\frac{\partial P}{\partial x} = 2xy - e^z + 2yz\cos(2xz)$$
  代入$(1,2,0)$：
  $$\frac{\partial P}{\partial x}\bigg|_{(1,2,0)} = 212 - e^0 + 220*\cos(0) = 4 - 1 + 0 = 3$$

• 对$y$的偏导数：
  $$\frac{\partial P}{\partial y} = x^2 + \sin(2xz)$$
  代入$(1,2,0)$：
  $$\frac{\partial P}{\partial y}\bigg|_{(1,2,0)} = 1^2 + \sin(0) = 1 + 0 = 1$$

• 对$z$的偏导数（补全你未写完的部分）：
  原函数中$-xe^{z$对$z$求导为$-xe}z$，$y\sin(2xz)$对$z$求导用链式法则得$2xy\cos(2xz)$，因此完整偏导数为：
  $$\frac{\partial P}{\partial z} = -xe^z + 2xy\cos(2xz)$$
  代入$(1,2,0)$：
  $$\frac{\partial P}{\partial z}\bigg|_{(1,2,0)} = -1e^0 + 212\cos(0) = -1 + 4*1 = 3$$

最终，点$(1,2,0)$处的压力梯度为：
$$\nabla P(1,2,0) = 3\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + 3\boldsymbol{k}$$

任务2：计算沿$\boldsymbol{v}=2\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$方向的初始变化率 #

这个变化率就是方向导数，计算公式为：
$$D_{\boldsymbol{u}}P = \nabla P \cdot \boldsymbol{u}$$
其中$\boldsymbol{u}$是$\boldsymbol{v}$方向的单位向量。

首先计算$\boldsymbol{v}$的模长：
$$|\boldsymbol{v}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$$

得到单位向量：
$$\boldsymbol{u} = \frac{2}{\sqrt{21}}\boldsymbol{i} - \frac{4}{\sqrt{21}}\boldsymbol{j} + \frac{1}{\sqrt{21}}\boldsymbol{k}$$

再计算梯度与单位向量的点积：
$$D_{\boldsymbol{u}}P(1,2,0) = (3)(\frac{2}{\sqrt{21}}) + (1)(-\frac{4}{\sqrt{21}}) + (3)(\frac{1}{\sqrt{21}})$$
$$= \frac{6 - 4 + 3}{\sqrt{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{5\sqrt{21}}{21}$$

因此，沿该方向的压力初始变化率为$\frac{5\sqrt{21}}{21}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user490418