求解联立二次方程组的解对：$x^2 + y = 12$与$y^2 + x = 12$

我来帮你一步步拆解这个问题，其实不用怕那个四次方程，利用方程组的对称性就能轻松突破啦～

首先先把两个方程整理一下，方便后续操作：

• 从第一个方程$x^2 + y = 12$，我们可以直接解出y：$y = 12 - x^2$（记为方程①）
• 第二个方程保持原样：$y^2 + x = 12$（记为方程②）

第一步：代入消元得到四次方程 #

把方程①里的y代入方程②，替换掉所有的y，就能得到只含x的方程：
$$(12 - x²⁾2 + x = 12$$

接下来展开并整理成标准的四次方程形式：
$$144 - 24x^2 + x^4 + x = 12$$
移项后得到：
$$x^4 - 24x^2 + x + 132 = 0$$

第二步：利用对称性因式分解四次方程 #

这时候别慌，观察原方程组的结构，它是对称的（把x和y互换，方程组不变），那我们可以先试试x=y的情况：
把x=y代入原方程，得到$x^2 + x = 12$，整理成$x^2 + x - 12 = 0$，因式分解后是$(x+4)(x-3)=0$，所以x=y=3或者x=y=-4，这两组是现成的解。

那既然x=y是一组解，我们可以把四次方程分解成包含$(x^2 + x - 12)$的因式（因为x=y=3和-4是这个二次方程的根）。用多项式除法或者配方法，能把四次方程分解为：
$$(x^2 + x - 12)(x^2 - x - 11) = 0$$

第三步：分别求解两个二次方程 #

现在四次方程拆成了两个二次方程，逐个解决就简单多了：

1. 解$x^2 + x - 12 = 0$ #

刚才已经算过啦，根是x=3和x=-4：

• 当x=3时，代入方程①得y=12-3²=3 → 解对$(3, 3)$
• 当x=-4时，代入方程①得y=12-(-4)²=-4 → 解对$(-4, -4)$

2. 解$x^2 - x - 11 = 0$ #

用求根公式$x = \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里a=1，b=-1，c=-11，代入得：
$$x = \frac{1±\sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{1±3\sqrt{5}}{2}$$

这时候注意，当x≠y时，我们可以从原两个方程相减推导关系：
$x^2 + y - (y^2 + x) = 12 - 12$ → $x^2 - y^2 - x + y = 0$ → $(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$ → $(x-y)(x+y-1)=0$
因为这里x≠y（否则就是前面的解了），所以$x + y = 1$，也就是y=1-x。

那我们直接计算对应的y：

• 当$x = \frac{1+3\sqrt{5}}{2}$时，$y = 1 - \frac{1+3\sqrt{5}}{2} = \frac{1-3\sqrt{5}}{2}$ → 解对$\left( \frac{1+3\sqrt{5}}{2}, \frac{1-3\sqrt{5}}{2} \right)$
• 当$x = \frac{1-3\sqrt{5}}{2}$时，$y = 1 - \frac{1-3\sqrt{5}}{2} = \frac{1+3\sqrt{5}}{2}$ → 解对$\left( \frac{1-3\sqrt{5}}{2}, \frac{1+3\sqrt{5}}{2} \right)$

第四步：验证所有解 #

把这四组解代入原方程，都能满足等式：

• $(3,3)$：$3^2 + 3 = 12$，$3^2 + 3 = 12$ ✔️
• $(-4,-4)$：$(-4)^2 + (-4) = 12$，$(-4)^2 + (-4) = 12$ ✔️
• 另外两组对称解，代入后也能算出$x^2 + y = 12$和$y^2 + x = 12$，完全符合要求。

所以最终的四组解对就是上面这四个啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ranjeet Bahadur