技术问询：如何用u-代换证明含正弦函数的积分等式

你说直接用$u=\sin x$的替换搞不定积分里的$x$项，太正常了——这个替换本来就没法直接处理线性的$x$因子。这里的核心技巧是拆分积分区间+针对性的变量替换，一步步来：

1. 先把原积分拆成两段
   把左边的积分拆成$[0,\pi]$和$[\pi,2\pi]$两个区间的和：
   $$\int_0^{2\pi} x f(\sin x) , dx = \int_0^\pi x f(\sin x) , dx + \int_\pi^{2\pi} x f(\sin x) , dx$$

2. 给后半段积分做个巧妙替换
   对$[\pi,2\pi]$这段积分，令$t = 2\pi - x$：

• 当$x=\pi$时，$t=\pi$；当$x=2\pi$时，$t=0$
• 求导得$dx = -dt$

把这个替换代入后半段积分，就变成：
$$\int_\pi^{2\pi} x f(\sin x) , dx = \int_\pi^0 (2\pi - t) f(\sin(2\pi - t)) (-dt)$$

3. 利用f的偶函数和三角函数性质化简
   注意$\sin(2\pi - t) = -\sin t$，而$f$是偶函数，所以$f(\sin(2\pi - t)) = f(-\sin t) = f(\sin t)$。同时调整积分上下限（去掉负号），上式就简化成：
   $$\int_0^\pi (2\pi - t) f(\sin t) , dt$$

4. 把两段积分合并，结果就出来了
   把后半段化简后的积分和前半段合并，而且积分变量叫$t$还是$x$不影响结果，直接换回$x$就行：
   $$
   \begin{align*}
   \int_0^{2\pi} x f(\sin x) , dx &= \int_0^\pi x f(\sin x) , dx + \int_0^\pi (2\pi - x) f(\sin x) , dx \
   &= \int_0^\pi \left[ x + (2\pi - x) \right] f(\sin x) , dx \
   &= \int_0^\pi 2\pi f(\sin x) , dx \
   &= 2\pi \int_0^\pi f(\sin x) , dx
   \end{align*}
   $$

这个方法的关键就是通过替换把后半段里的$x$转化成能和前半段抵消的形式，同时用$f$的偶函数特性处理$\sin$的符号，完美绕开了直接换$u=\sin x$的死胡同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leos Kotrop