求证x > -1 ⇒ x² ≥ (1+x)(log(1+x))²的方法咨询

首先，换元简化问题是个不错的突破口：

• 令 ( t = \ln(1+x) )（因为 ( x > -1 )，所以 ( t \in \mathbb{R} )），则 ( x = e^t - 1 )，原不等式会转化为：
  [
  (e^t - 1)^2 \geq e^t \cdot t^2
  ]
  这个形式比原问题更对称，更容易分析。

然后可以分情况讨论，结合经典不等式：

• 当 ( t > 0 ) 时，两边除以 ( t^2 )（正数，不改变不等号方向），得到：
  [
  \left( \frac{e^t - 1}{t} \right)^2 \geq e^t
  ]
  开方后（左右两边都是正数）变为 ( \frac{e^t - 1}{t} \geq e^{t/2} )，再令 ( u = \frac{t}{2} )，进一步转化为 ( \sinh u \geq u )——这是个非常经典的不等式，你可以通过泰勒展开或者求导轻松证明它（( \sinh u ) 的泰勒展开是 ( u + \frac{u^3}{6} + \frac{u^5}{120} + \dots )，显然大于等于 ( u )）。
• 当 ( t < 0 ) 时，令 ( t = -s )（( s > 0 )），代入转化后的不等式会发现它和 ( t > 0 ) 的情况完全等价，所以同样成立。
• 当 ( t = 0 ) 时，两边都是0，等号成立。

另外，你之前尝试的导数方法其实是可行的，可能没深入到二阶导：

• 构造函数 ( f(x) = x^2 - (1+x)(\ln(1+x))^2 )，先看 ( f(0) = 0 )。
• 求一阶导：( f'(x) = 2x - (\ln(1+x))^2 - 2\ln(1+x) )，显然 ( f'(0) = 0 )。
• 再求二阶导：( f''(x) = 2 - \frac{2\ln(1+x)}{1+x} - \frac{2}{1+x} )，整理后得到 ( f''(x) = 2\left[ 1 - \frac{\ln(1+x) + 1}{1+x} \right] )。
• 此时构造辅助函数 ( g(x) = x - \ln(1+x) )，你会发现 ( g(x) \geq 0 ) 对所有 ( x > -1 ) 成立（求导分析单调性即可：( g'(x) = \frac{x}{1+x} )，( x > 0 ) 时递增，( -1 < x < 0 ) 时递减，( g(0)=0 )），进而推出 ( \frac{\ln(1+x) + 1}{1+x} \leq 1 )，所以 ( f''(x) \geq 0 )，即 ( f'(x) ) 单调递增。
• 最后根据单调性判断：( x > 0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 递增，( f(x) > f(0)=0 )；( -1 < x < 0 ) 时 ( f'(x) < 0 )，( f(x) ) 递减，( f(x) > f(0)=0 )，完美覆盖所有情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user85798