如何确定定积分的边界？已知积分等式求常数c的值

定积分的上下限（也就是你说的边界）的确定，得看具体的问题背景或者题目给的条件，常见的几种情况我给你梳理下：

• 几何/物理场景驱动：比如算曲线和x轴围成的面积，边界就是曲线与x轴交点的x值；要是算物体从时刻a到时刻b的位移，那a和b就是积分的上下限，完全贴合实际场景。
• 题目直接指定：很多基础题会直接给你上下限，比如$\int_{-2}^{2}x3dx$，这里-2和2就是明确的边界，直接用就行。
• 通过已知函数关系反推：就像你碰到的这个问题，已知变上限积分的结果，反过来求常数c，这种就得靠定积分的计算规则和等式条件来倒推。
• 利用对称性/周期性简化：如果被积函数是周期函数，有时候可以调整边界来简化计算；对称区间上的奇偶函数积分，选对称边界能省不少事，比如$\int_{-a}^{a}$这种。

你第一步求导得到$f(x)=3x^2+5x4$完全正确！接下来咱们把$f(t)$代回原积分，一步步算就能解出c了：

1. 先把$f(t)=3t^2+5t4$代入原积分式子：
   $$\int_{c}^x(3t2+5t^4),\mathrm{d}t$$
2. 用幂函数的积分公式$\int t^n dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C$计算这个定积分：
   计算后得到原函数是$t^3 + t^5$，代入上下限x和c，就有：
   $$\left[t^3 + t^5\right]_{c}x = (x^3 + x^5) - (c^3 + c^5)$$
3. 题目里说这个积分结果等于$x^3 + x^5$，所以咱们可以建立等式：
   $$(x^3 + x^5) - (c^3 + c^5) = x^3 + x^5$$
4. 两边同时减去$x^3 + x^5$，就能得到：
   $$-(c^3 + c^5) = 0$$
   也就是$c^3 + c^5 = 0$，把它因式分解一下：$c^3(1 + c^2) = 0$。
5. 解这个方程就很简单了：
   在实数范围内，$1 + c^{2$永远大于0，所以只有$c}3=0$，也就是$c=0$。

这样就搞定啦，c的取值就是0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PRD