求$rac{p^3}{p^4+4w^4}$的拉普拉斯逆变换简便方法

嘿，我来帮你搞定这个拉普拉斯逆变换的问题！这个分式的分解确实有点技巧，但掌握了核心方法就会很顺手，咱们一步步拆解：

这里要用到苏菲·热尔曼恒等式——这个公式专门用来处理形如$a^4 + 4b^4$的四次和式，简直是这类问题的钥匙：
$$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a2 - 2ab + 2b^2)$$
把$a=p$，$b=w$代入你的分母，立刻就能拆成两个二次多项式的乘积：
$$p^4 + 4w^4 = (p^2 + 2wp + 2w^2)(p2 - 2wp + 2w^2)$$

接下来把原分式拆成两个分子为一次式的分式之和，设：
$$\frac{p^3}{p4 + 4w^4} = \frac{Ap + B}{p^2 + 2wp + 2w^2} + \frac{Cp + D}{p^2 - 2wp + 2w^2}$$

通分右边后让分子与左边$p^3$相等，展开并整理同类项，再对应系数列方程组：

1. $A + C = 1$（$p^3$项系数）
2. $-2wA + B + 2wC + D = 0$（$p^2$项系数）
3. $2w^2A - 2wB + 2w^2C + 2wD = 0$（$p$项系数）
4. $2w^2B + 2w^2D = 0$（常数项）

解这个方程组其实很简单：

• 从方程4得$D = -B$
• 代入方程2，化简后得到$C = A$，结合方程1得$A = C = \frac{1}{2}$
• 再代入方程3，解得$B = \frac{w}{2}$，所以$D = -\frac{w}{2}$

最终分解结果：
$$\frac{p^3}{p4 +4w^4} = \frac{\frac{1}{2}p + \frac{w}{2}}{p^2 +2wp +2w^2} + \frac{\frac{1}{2}p - \frac{w}{2}}{p^2 -2wp +2w^2}$$

先给两个分母配方，把它们变成拉普拉斯表中的标准形式：

• $p^2 + 2wp + 2w^2 = (p + w)^2 + w^2$
• $p^2 - 2wp + 2w^2 = (p - w)^2 + w^2$

再把分子整理成和分母配方后对应的形式：

• $\frac{1}{2}p + \frac{w}{2} = \frac{1}{2}(p + w)$
• $\frac{1}{2}p - \frac{w}{2} = \frac{1}{2}(p - w)$

现在分式就变成了我们熟悉的样子：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{p + w}{(p + w)^2 + w^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p - w}{(p - w)^2 + w^2}$$

对照拉普拉斯逆变换表：

• $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s + a}{(s + a)^2 + b^2}\right} = e^{-at}\cos(bt)$
• $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2}\right} = e^{at}\cos(bt)$

直接套用公式，就能得到逆变换结果：
$$\mathcal{L}^{{-1}\left{\frac{p}3}{p^4 +4w^4}\right} = \frac{1}{2}e^{-wt}\cos(wt) + \frac{1}{2}e^{wt}\cos(wt)$$

最后还可以用双曲余弦函数简化：$\cosh(wt) = \frac{e^{wt} + e^{-wt}}{2}$，所以结果也能写成：
$$\cos(wt)\cosh(wt)$$

• 核心突破口是苏菲·热尔曼恒等式，记住它就能轻松分解$p^4 + 4w^4$这类四次式
• 部分分式分解时，利用分子分母的奇偶性可以简化系数求解
• 配方后直接匹配标准逆变换公式，不用复杂计算

这样是不是就完全清楚啦？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517526