如何重新计算特沃斯基-卡尼曼《小数定律信念》论文初始示例数值？

嘿，咱们来一步步拆解特沃斯基和卡尼曼1971年那篇经典论文里的这个统计问题——这可是理解「小数定律」直觉偏差的绝佳例子！

首先先把论文里的实验问题摆出来：

假设你针对20名受试者开展实验，得到了证实你理论的显著结果（z = 2.23，p < .05，双尾检验）。现在你需要新增一组10名受试者进行实验，你认为单独针对该组进行单尾检验时，结果显著的概率是多少？

计算步骤拆解 #

1. 从初始实验提取效应量 #

首先，初始实验是20个样本的双尾检验，z值为2.23。这里默认是两组独立样本设计（20人分成两组各10人），我们需要把z值转化为标准化效应量d（均值差除以合并标准差），这是连接前后两个实验的关键：

• z和d的换算公式是：d = z / sqrt(n1 + n2)，代入n1=n2=10：
  d = 2.23 / sqrt(10+10) ≈ 2.23 / 4.472 ≈ 0.5（刚好是中等效应量，这个近似很方便后续计算）。

2. 计算新样本的显著性概率（统计功效） #

新样本是10人，同样默认分成两组各5人，做单尾检验（显著性水平α=0.05，对应单尾z临界值是1.645）。我们要算的是：在真实效应量d=0.5的情况下，新样本能得到显著结果的概率，也就是统计功效。

• 第一步算新样本的标准误SE：SE = sqrt((n1 + n2)/(n1*n2)) = sqrt((5+5)/(5*5)) = sqrt(0.4) ≈ 0.632
• 第二步算非中心z值（反映真实效应在新样本里的体现）：z_noncentral = d / SE = 0.5 / 0.632 ≈ 0.791
• 第三步，我们需要求标准正态分布中，取值≥(1.645 - 0.791)的概率（因为非中心正态分布的概率可以转化为标准正态的累积概率差）：
  先算1.645 - 0.791 = 0.854，查标准正态表或者用统计工具计算，标准正态累积分布函数Φ(0.854)≈0.803，所以最终概率是1 - 0.803 = 0.197，也就是约20%。

3. 为啥大家直觉会错？ #

论文里发现大部分研究者会把这个概率估到50%甚至更高——这就是「小数定律」的锅：人们总觉得小样本能像大样本一样精准反映总体效应，但实际上小样本的变异极大，统计功效远低于直觉预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Al Jannico