咨询：标量线性方程组Ax=b与Ax=b'的解的关系判定

咱先把这个问题拆开来一步步分析，搞清楚每个选项的合理性：

首先明确前提：我们有两个标量线性方程组 Ax = b 和 Ax = b'，其中 b' = ub + v，需要判断它们的解符合哪个选项。

逐个分析选项 #

• 选项A：它们有相同的解
  这显然不成立。举个简单例子：假设A是可逆的1x1矩阵 A=[[1]]，b=[2]，取u=3、v=0，那第一个方程的解是x=2，第二个方程的解是x=6，完全不同。只有当u=1且v=0时，b'=b，两个方程组才完全一致，但题目里u和v都是未知的，所以A选项肯定不对。

• 选项B：它们有相同数量的解
  这个也不一定成立。比如取A是零矩阵 A=[[0]]，b=[1]，u=1、v=-1：第一个方程是0x=1，没有解；第二个方程是0x=1*1 + (-1)=0，有无穷多个解。这时候两个方程组的解数量完全不同，所以B选项也站不住脚。

• 选项C：未知u、v时无法判断
  这个选项忽略了矩阵A的影响。就算我们知道u和v的取值，只要A的情况不确定，结果还是没法判断。比如假设u=1、v=0，如果A可逆，那两个方程组解相同；但如果A是零矩阵且b≠0，那两个方程组都无解，解数量相同，但如果A是零矩阵且b=0，则都有无穷多解。但问题是题目里A也是未知的，所以只说未知u、v是不够的，C选项不对。

• 选项D：未知A、u、v时无法判断
  这才是正确的选项。不同的A、u、v组合会带来完全不同的结果：

  • 若A可逆，u=1、v=0：两个方程组解相同，且都只有唯一解；
  • 若A可逆，u=2、v=0：解不同，但都只有唯一解；
  • 若A是零矩阵，b≠0，u=1、v=0：两个方程组都无解；
  • 若A是零矩阵，b≠0，u=1、v=-b：第一个方程组无解，第二个有无穷多解。

  由于A、u、v都是未知的，我们无法确定到底是哪种情况，所以没法判断两个方程组的解的关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yossi Choen