咨询：用反证法证明“若3∣(a²+b²)则3∣a且3∣b”的后续步骤

没问题，我来一步步帮你拆解这个推导过程，核心是先搞清楚整数模3的平方余数规律，再结合反证法的假设推导矛盾：

第一步：明确整数模3的余数分类 #

任何整数除以3，余数只能是0、1、2这三种情况：

• 如果$3\mid a$，则$a \equiv 0 \pmod{3}$；
• 如果$3\nmid a$，则$a \equiv 1 \pmod{3}$ 或 $a \equiv 2 \pmod{3}$。

第二步：计算非3倍数的整数平方模3的余数 #

我们直接计算两种非0余数的平方：

• 若$a \equiv 1 \pmod{3}$，则$a^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{3}$；
• 若$a \equiv 2 \pmod{3}$，则$a^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$（因为4除以3余1）。

划重点：所有不被3整除的整数，平方后模3的余数都是1；只有被3整除的整数，平方后模3的余数才是0。

第三步：反证法推导矛盾 #

原命题的否定是：$3\nmid a$ 或 $3\nmid b$（逻辑上的“或”表示至少一个不被3整除），我们分三种子情况讨论：

1. $3\nmid a$ 但 $3\mid b$：此时$a^2 \equiv1 \pmod{3}$，$b^2 \equiv0 \pmod{3}$，所以$a^2+b2 \equiv1+0=1 \pmod{3}$，显然$3\nmid(a^2+b2)$，和题设矛盾；
2. $3\mid a$ 但 $3\nmid b$：和上一种情况对称，$a^2+b2 \equiv0+1=1 \pmod{3}$，同样与题设矛盾；
3. $3\nmid a$ 且 $3\nmid b$：此时$a^2 \equiv1 \pmod{3}$，$b^2 \equiv1 \pmod{3}$，所以$a^2+b2 \equiv1+1=2 \pmod{3}$，还是不被3整除，与题设矛盾。

三种情况都导出了矛盾，说明原命题的否定不成立，因此原命题成立：若$3\mid(a^2+b2)$，则$3\mid a$且$3\mid b$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paul9797