置换矩阵表示疑问：为何置换序列25413对应矩阵A而非B？

你困惑的核心大概率是置换矩阵的两种常见定义逻辑——行置换 vs 列置换，以及置换与逆置换的矩阵对应关系。咱们一步步拆解清楚：

1. 先明确置换的表示 #

给定置换序列 2 5 4 1 3，我们把它记为置换函数 σ，其中 σ(i) 表示「原序列第 i 个元素被映射到的新位置」：

• σ(1) = 2 → 原第1个元素移到第2位
• σ(2) = 5 → 原第2个元素移到第5位
• σ(3) = 4 → 原第3个元素移到第4位
• σ(4) = 1 → 原第4个元素移到第1位
• σ(5) = 3 → 原第5个元素移到第3位

2. 两种置换矩阵的核心定义 #

定义1：列置换矩阵（右乘实现元素置换） #

这是多数线性代数教材的默认定义：置换矩阵的第 j 列是标准基向量 e_{σ(j)}（e_k 是第k位为1、其余为0的向量）。

对应你的置换 2 5 4 1 3，教材里的矩阵A就是这个列置换矩阵：

# 列1是e₂（第2行=1），列2是e₅（第5行=1），列3是e₄（第4行=1），列4是e₁（第1行=1），列5是e₃（第3行=1）
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0

当你用这个矩阵右乘列向量 [v1; v2; v3; v4; v5]，得到的结果是 [v4; v1; v5; v3; v2]——完全符合置换25413的元素重排规则。

定义2：行置换矩阵（左乘实现元素置换） #

另一种常见定义是置换矩阵的第 i 行是标准基向量 e_{σ(i)}，此时用矩阵左乘列向量会实现行的置换。这个矩阵的样子和列置换矩阵完全不同，可能是你最初误以为的「矩阵B」。

3. 你混淆的逆置换矩阵是什么？ #

你以为教材的A是逆置换矩阵，但实际上：

• 逆置换 σ⁻¹ 是 σ 的反向映射：σ(1)=2 → σ⁻¹(2)=1；σ(2)=5 → σ⁻¹(5)=2；σ(3)=4 → σ⁻¹(4)=3；σ(4)=1 → σ⁻¹(1)=4；σ(5)=3 → σ⁻¹(3)=5。对应的逆置换序列是 4 1 5 3 2。
• 置换矩阵是正交矩阵，它的逆矩阵等于自身的转置。所以原置换的列置换矩阵转置后，就是逆置换的列置换矩阵——这大概率就是你算出来的矩阵B。

4. 为什么教材说置换25413对应矩阵A？ #

几乎可以肯定，你的教材采用的是列置换矩阵的定义（通过右乘实现元素重排）。你之前可能误把行置换矩阵或者逆置换的矩阵当成了原置换的对应矩阵，才会产生「A是逆置换矩阵」的误解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pablo