求解给定三元非线性方程组，寻求简洁可行的解题方法

嘿，这个方程组用常规代入法确实会绕得头大，但其实藏着个超巧妙的小技巧——给每个方程两边加1，凑出因式分解的形式！我一步步给你拆解：

首先观察每个方程的结构：xy + x + y，这种式子加1后就能变成乘积形式，因为：
xy + x + y + 1 = (x+1)(y+1)

我们给三个原方程都做这个操作：

• 第一个方程：xy + x + y = -13 → 两边加1得 (x+1)(y+1) = -12
• 第二个方程：yz + y + z = -9 → 两边加1得 (y+1)(z+1) = -8
• 第三个方程：zx + z + x = 5 → 两边加1得 (z+1)(x+1) = 6

接下来换元简化，设：
a = x+1，b = y+1，c = z+1

现在方程组就变成了非常清爽的乘积形式：

a*b = -12  ---(1)
b*c = -8   ---(2)
c*a = 6    ---(3)

求解换元后的方程组 #

把这三个式子相乘，得到：
(a*b*c)² = (-12)×(-8)×6 = 576
因此 a*b*c = ±24，分两种情况计算：

情况1：abc = 24 #

• 用这个结果除以(1)式：c = 24 ÷ (-12) = -2
• 代入(2)式：b = -8 ÷ c = -8 ÷ (-2) = 4
• 代入(1)式：a = -12 ÷ b = -12 ÷ 4 = -3
  还原回原变量：
  x = a-1 = -4，y = b-1 = 3，z = c-1 = -3

情况2：abc = -24 #

• 除以(1)式：c = -24 ÷ (-12) = 2
• 代入(2)式：b = -8 ÷ c = -8 ÷ 2 = -4
• 代入(1)式：a = -12 ÷ b = -12 ÷ (-4) = 3
  还原回原变量：
  x = 3-1 = 2，y = -4-1 = -5，z = 2-1 = 1

最后可以验证一下，这两组解都完全满足原方程组，完美解决！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A J