咨询：不单独保作用量与路径积分测度但乘积不变的理论对称性实例

当然有这种有趣的对称性——在量子场论的语境下，我们通常把这类变换称为反常补偿后的量子对称性：它们在经典层面可能是标准的对称性，但量子化之后，单独看作用量或者路径积分测度都不再保持不变，可两者的组合（也就是路径积分的核心被积函数）却能恰好抵消各自的变化，最终让整个路径积分保持不变，从而成为量子理论里的有效对称性。

经典实例：二维量子电动力学（QED₂）中的手征U(1)对称性 #

这是最具代表性的例子之一：

• 经典层面：手征U(1)变换是费米子场的一种相位旋转：$\psi \rightarrow e^{i\alpha\gamma_5}\psi$（$\alpha$是常数，属于全局变换），经典作用量$S = \int d^2x \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4e^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$在这个变换下是严格不变的，经典路径积分测度也被认为是不变的。
• 量子化后的变化：当我们做量子路径积分时，费米子测度的雅可比行列式会产生一个手征反常——也就是说，测度不再保持不变，而是会变成$D\psi D\bar{\psi} \rightarrow D\psi D\bar{\psi} \cdot e^{i\alpha \cdot \frac{e^2}{4\pi}\int d^2x \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}}$。这时候单独看原始作用量，它依然在变换下不变，但测度变了，似乎路径积分会跟着改变？
• 补偿后的对称性：如果我们给作用量加上一个微小的修正项，让作用量在变换下的变化刚好抵消测度的变化：比如引入修正项$\Delta S = -\frac{e^2}{4\pi}\int d^2x \alpha \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$，这时候当我们执行手征变换时，作用量的变化$\Delta S$刚好等于测度变化的对数的负值，两者组合起来：
  $e^{-(S+\Delta S)} \cdot (D\psi D\bar{\psi} \cdot \text{雅可比}) = e^{-S} \cdot D\psi D\bar{\psi}$
  完全保持不变。

换句话说，这个修正后的手征变换，既不保持原始作用量$S$不变，也不保持原始测度不变，但它们的乘积（路径积分的核心被积函数）却保持不变，完全符合你描述的对称性条件。

另一个例子：四维共形场论中的Weyl变换 #

在四维共形场论中，经典的Weyl变换是度规的局域缩放：$g_{\mu\nu} \rightarrow e^{2\omega(x)}g_{\mu\nu}$，共形耦合的物质场作用量在这个变换下是不变的。但量子化后，路径积分测度会产生共形反常，导致测度不再不变。这时候如果我们在作用量中加入对应的反常抵消项（比如与欧拉密度相关的项），就能让作用量的变化和测度的变化相互抵消，使得整个路径积分在Weyl变换下保持不变——这个变换同样满足你说的条件：单独看作用量或测度都发生了变化，但两者的乘积却保持不变。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yossarian