已知三阶矩阵A的常微分方程组X'=AX，求其通解（已得特征值）

没问题，咱们一步步把这个方程组的通解搞定——你已经拿到了关键的特征值，接下来就是求对应的特征向量，再把解拼凑出来就行。先回顾下已知条件：

• 方程组是 $X'=AX$，其中矩阵 $A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 2 & 0 \ -2 & 1 & -1 \ \end{pmatrix}$
• 已算出特征值：$\lambda_1=2$，$\lambda_{2,3}=\pm i$
• 你预期的解形式差了一点点，虚特征值对应的是两个线性无关的实解，最后通解会包含三个任意常数哦。

第一步：求特征值$\lambda_1=2$对应的特征向量$\mathbf u$ #

咱们需要解齐次方程组 $(A-2I)\mathbf u = \mathbf 0$，先算出 $A-2I$：
$$A-2I= \begin{pmatrix} 1-2 & -1 & 1 \ 0 & 2-2 & 0 \ -2 & 1 & -1-2 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -2 & 1 & -3 \ \end{pmatrix}$$

对这个矩阵做行简化：

• 第二行全0，先放着；
• 第三行减去2倍第一行，得到 $(0,3,-5)$，矩阵变成：
  $$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ 0 & 3 & -5 \ 0 & 0 & 0 \ \end{pmatrix}$$

再进一步简化：

• 第一行乘-1，第二行除以3，然后第一行减去第二行，最终得到行简化阶梯形：
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2/3 \ 0 & 1 & -5/3 \ 0 & 0 & 0 \ \end{pmatrix}$$

设 $\mathbf u = \begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \end{pmatrix}$，根据上面的矩阵可以得到：
$u_1 = -\frac{2}{3}u_3$，$u_2 = \frac{5}{3}u_3$，为了消去分数，咱们令 $u_3=3$，这样就得到特征向量：
$$\mathbf u = \begin{pmatrix} -2 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$$

所以对应特征值2的解项就是 $c_1e^{2t}\begin{pmatrix} -2 \ 5 \ 3 \end{pmatrix}$，$c_1$ 是任意实常数。

第二步：求特征值$\lambda=i$对应的复特征向量$\mathbf z = \mathbf v + i\mathbf w$ #

接下来处理虚特征值，解齐次方程组 $(A-iI)\mathbf z = \mathbf 0$，先算 $A-iI$：
$$A-iI= \begin{pmatrix} 1-i & -1 & 1 \ 0 & 2-i & 0 \ -2 & 1 & -1-i \ \end{pmatrix}$$

看第二行：$(0, 2-i, 0)\mathbf z = 0$，因为 $2-i$ 不等于0，所以直接得出 $z_2=0$。

把 $z_2=0$ 代入第一行和第三行：

1. 第一行：$(1-i)z_1 + z_3 = 0$，所以 $z_3 = -(1-i)z_1$；
2. 把 $z_3$ 代入第三行验证：$-2z_1 + (-1-i)z_3 = -2z_1 + (-1-i)(-(1-i))z_1 = -2z_1 + 2z_1 = 0$，完全满足，说明 $z_1$ 是自由变量。

令 $z_1=1$，则 $z_3=-(1-i)=-1+i$，所以复特征向量可以拆成实部和虚部：
$$\mathbf z = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$$
这里 $\mathbf v = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{pmatrix}$，$\mathbf w = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$。

第三步：构造虚特征值对应的实值解 #

利用欧拉公式 $e^{it} = \cos t + i\sin t$，把 $e^{it}\mathbf z$ 展开后分离实部和虚部，就能得到两个线性无关的实解：

• 实部解：$\mathbf v\cos t - \mathbf w\sin t = \begin{pmatrix} \cos t \ 0 \ -\cos t - \sin t \end{pmatrix}$
• 虚部解：$\mathbf v\sin t + \mathbf w\cos t = \begin{pmatrix} \sin t \ 0 \ -\sin t + \cos t \end{pmatrix}$

第四步：组合出通解 #

把三个线性无关的解（特征值2对应的解，加上虚特征值对应的两个实解）组合起来，就得到方程组的通解了：
$$X(t) = c_1e^{2t}\begin{pmatrix} -2 \ 5 \ 3 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} \cos t \ 0 \ -\cos t - \sin t \end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix} \sin t \ 0 \ -\sin t + \cos t \end{pmatrix}$$
这里 $c_1,c_2,c_3$ 是任意实常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者muserock92