无限集合上离散度量空间的开闭子集判定疑问

问题背景：设$X$为无限集合，定义离散度量如下：
$$ d(x,y)= \begin{cases} 0\qquad&\text{当且仅当 } x=y\ 1&\text{其他情况} \end{cases} $$
请问$X$的哪些子集是闭集，哪些是开集？

解法一：从孤立点与闭包的核心分析（正确结论） #

这是直击离散度量本质的思路：

• 首先，$X$里的每个点都是孤立点：拿任意点$x \in X$来说，取半径为$1/2$的开球B(x, 1/2)，根据度量定义，这个球里只会包含$x$自己——毕竟任何其他点和$x$的距离都是1，大于$1/2$。
• 由此推导：$X$中不存在任何极限点。极限点的要求是，该点的任意邻域内都有集合中不同于它的点，但在离散度量里，每个点的邻域（比如上述的小开球）都只有自己，根本找不到其他点来满足极限点的定义。
• 接下来看闭集：对于任意子集$A \subseteq X$，它的闭包$\overline{A}$就是$A$本身（因为没有额外的极限点需要添加到$A$里），所以所有子集都是闭集。
• 再看开集：任意子集$A$也是开集——因为$A$里的每个点都有一个只包含自己的开球，这个开球完全落在$A$内部，完全符合开集的定义（每个点都有包含于集合的邻域）。
• 最终结论：$X$的所有子集既是开集也是闭集。

解法二：容易陷入的矛盾误区（错误推理修正） #

不少人会陷入这个误区，得出和上面矛盾的结论，这里拆解一下：

• 错误推理：有人会想，$X$是无限集合，那它的无限子集$A$应该存在极限点，所以$A$不是闭集；只有有限子集没有极限点，才是闭集。
• 错误根源：把欧氏空间这类常见度量的性质套到了离散度量上。在离散度量里，不管子集是有限还是无限，都没有极限点——每个点的邻域都被“孤立”起来了，根本没有其他点能成为某个点的极限点。
• 修正后：这个思路不成立，所有子集（有限/无限）都满足闭集的定义，同时也都是开集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yoshi