确定参数a、b的值，使指定分式多项式长除结果为多项式

嘿，我来帮你理清这个问题的解法！你之前尝试因式分解、求根没找到突破口，其实核心点在于：如果这个分式运算后是多项式，那就说明分子多项式能被分母多项式整除。咱们一步步拆解：

第一步：分解分母，找到关键根 #

先把分母因式分解，这一步你应该也试过：

x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

根据多项式整除的性质，分母的两个根$x=3$和$x=-1$，肯定也是分子的根——毕竟如果$(x-r)$能整除分母，那它必须也能整除分子才行。

第二步：代入根列方程 #

把这两个根分别代入分子，让分子等于0，就能得到关于$a$和$b$的方程组：

代入$x=3$： #

$3^3 + a\cdot3^2 + b\cdot3 - 4a = 0$
计算化简后得到：
$5a + 3b = -27$ —— 方程①

代入$x=-1$： #

$(-1)^3 + a\cdot(-1)^2 + b\cdot(-1) - 4a = 0$
计算化简后得到：
$-3a - b = 1$ —— 方程②

第三步：解方程组求参数 #

现在咱们来解这个二元一次方程组：
从方程②变形得到：$b = -3a - 1$
把这个$b$的表达式代入方程①：

5a + 3(-3a - 1) = -27

展开计算：
$5a - 9a - 3 = -27$
合并同类项后得到：$-4a = -24$，解得$a=6$

再把$a=6$代入$b=-3a-1$，算出$b=-3\times6 -1=-19$

验证一下（可选） #

把$a=6$、$b=-19$代入分子，得到$x^3+6x2-19x-24$，用多项式长除法除以$x²-2x-3$，会得到商为$x+8$，确实是多项式，说明咱们的解没问题！

最终结果 #

• $a=6$
• $b=-19$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jukka Säily