求满足平方为单位矩阵的特定形式2×2复矩阵及验证疑问

咱们一步步拆解这个问题，先搞定满足条件的矩阵求解，再聊聊逆矩阵验证的事儿～

一、找到所有符合要求的矩阵$A$ #

给定矩阵形式为$A = \begin{bmatrix}0&b\a&0\end{bmatrix}$，其中$a,b$是复数。首先咱们计算$A^2$，也就是$A$和自身相乘：
$$
A^2 = \begin{bmatrix}0&b\a&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&b\a&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \cdot 0 + b \cdot a & 0 \cdot b + b \cdot 0 \ a \cdot 0 + 0 \cdot a & a \cdot b + 0 \cdot 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ab&0\0&ab\end{bmatrix}
$$
题目要求$A^2$等于单位矩阵$I = \begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}$，把两个矩阵对比一下，就能得到关键条件：
$$ab = 1$$
这说明只要$a$和$b$是不为零的复数，且互为乘法逆元（也就是$b = \frac{1}{a}$或者$a = \frac{1}{b}$），对应的矩阵$A$就满足要求。把它写成矩阵形式就是：
$$A = \begin{bmatrix}0&a^{-1}\a&0\end{bmatrix}, \quad a \in \mathbb{C}, a \neq 0$$
或者用$b$来表示：
$$A = \begin{bmatrix}0&b\b^{-1}&0\end{bmatrix}, \quad b \in \mathbb{C}, b \neq 0$$

二、关于逆矩阵验证的疑问解析 #

先理清楚题目里提到的$A^{-1}=A$和$A2=I$的关系：

• 如果$A^2=I$，根据逆矩阵的定义：只要存在矩阵$B$使得$A \cdot B = I$，$B$就是$A$的逆矩阵。这里$A$和自己相乘得到$I$，所以$A$的逆矩阵就是它本身，也就是$A^{-1}=A$。
• 反过来，如果$A^{-1}=A$，那两边左乘$A$就能得到$A \cdot A^{-1} = A \cdot A$，也就是$I = A^2$，这和题目的要求完全一致。

针对你的两个具体问题：

1. **“若将$A^{{-1}$与$A$相乘得到单位矩阵$I$，这是否就是答案？”**——当$A}{-1}=A$时，$A \cdot A^{-1}=A2=I$，这正好是题目要求的条件，所以满足$A^{{-1}=A$的矩阵就是我们要找的答案，和满足$A}2=I$的矩阵是同一组。
2. **“仅通过$A$与$A^{{-1}$相乘得到单位矩阵的验证是否足够？”**——如果我们已经假设$A}{-1}=A$，那验证$A \cdot A^{{-1}=I$本质上就是在验证$A}2=I$，这完全符合题目的要求，是足够的。更准确地说，这两个条件是双向等价的，验证其中一个就等同于验证另一个。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者StudentMaths