求证Cantor函数下[0,1]子集的原像为Lebesgue可测集

我来帮你梳理这个证明的核心逻辑，其实关键是利用Cantor函数的特殊构造和Lebesgue测度的性质来拆解问题~

首先，结合你已经证得的结论，补充一个Cantor函数的核心性质：Cantor函数在Cantor集$\mathcal{C}$的补集（也就是构造Cantor集时挖掉的所有开区间）上是常值函数——每个被挖掉的开区间$(a,b)$内，$C(x)$都等于同一个固定常数。

接下来我们把$C^{-1}(A)$拆成两个独立部分分析，再合并结论：

1. 分析$C^{-1}(A) \cap \mathcal{C}$ #

Cantor集$\mathcal{C}$的Lebesgue测度为0，而Lebesgue测度是完备测度：也就是说，测度为0的集合的任何子集都是Lebesgue可测集（测度同样为0）。
不管$A$是$[0,1]$的什么子集，$C^{-1}(A) \cap \mathcal{C}$都是$\mathcal{C}$的子集，因此这部分必然是Lebesgue可测的。

2. 分析$C^{-1}(A) \cap ([0,1]\setminus \mathcal{C})$ #

$[0,1]\setminus \mathcal{C}$是可数个互不相交的开区间的并，记为$\bigcup_{n=1}^\infty I_n$，其中每个$I_n=(a_n,b_n)$。根据Cantor函数的构造，在每个$I_n$上$C(x)$取固定的常数$c_n$。

那么$C^{-1}(A) \cap ([0,1]\setminus \mathcal{C})$其实就是所有满足$c_n \in A$的开区间$I_n$的并，即：
$$\bigcup { I_n \mid c_n \in A }$$
开区间本身是Lebesgue可测集，而可数个可测集的并仍然是可测集，所以这部分也是Lebesgue可测的。

3. 合并结论 #

因为$C^{-1}(A)$是上述两个可测集的并：
$$C^{-1}(A) = \left[ C^{-1}(A) \cap \mathcal{C} \right] \cup \left[ C^{-1}(A) \cap ([0,1]\setminus \mathcal{C}) \right]$$
而可测集的并集仍然是可测集，因此对任意$A \subset [0,1]$，$C^{-1}(A)$都是Lebesgue可测集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者McNuggets666