无不动点连续函数迭代方程组无解性证明问询

咱们来一步步拆解这个证明过程：

已知条件 #

• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是无不动点的连续函数（即不存在任何实数$t$使得$f(t)=t$）
• $n,m$为正整数，$f^{k$表示$f$的$k$次复合迭代（比如$f}2(x)=f(f(x))$，$f^3(x)=f(f(f(x)))$，以此类推）

要证结论 #

方程组 $\begin{cases} f^m(x)=y \ f^n(y)=x \end{cases}$ 不存在实数解$(x,y)$。

反证法推导（核心逻辑） #

假设存在实数$x,y$满足上述方程组，咱们通过复合运算来推导矛盾：

1. 对第一个方程$f^{m(x)=y$两边同时做$n$次$f$迭代，得到：$f}n(f^m(x))=fn(y)$
2. 根据迭代的定义，$f^n(fm(x))=f^{{m+n}(x)$；而由第二个方程可知$f}n(y)=x$，因此直接推出：$f^{m+n}(x)=x$
3. 用同样的方法，对第二个方程$f^{n(y)=x$两边同时做$m$次$f$迭代，得到：$f}m(f^n(y))=fm(x)$
4. 同理，$f^m(fn(y))=f^{{m+n}(y)$，而第一个方程给出$f}m(x)=y$，因此又推出：$f^{m+n}(y)=y$

导出矛盾 #

因为$f$是无不动点的连续函数，根据连续函数的介值定理，必然满足以下两种情况之一：

• 对所有实数$t$，都有$f(t) > t$；此时对任意正整数$k$，$f^k(t) = f(f^{k-1}(t)) > f^{k-1}(t) > \dots > f(t) > t$，不可能存在$t$使得$f^k(t)=t$
• 对所有实数$t$，都有$f(t) < t$；同理可得$f^k(t) < f^{k-1}(t) < \dots < f(t) < t$，也不可能存在不动点

但咱们刚才推导得出$f^{{m+n}(x)=x$和$f}{m+n}(y)=y$，这就和$f$无不动点的条件矛盾了。因此最初的假设不成立，原方程组不存在解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Asix