求证：子群中元素的逆元与原群中对应逆元相同

嘿，你已经搞定了子群单位元和原群单位元相同的证明，那这个逆元的问题其实就是顺理成章的事儿了，咱们一步步来捋：

1. 先明确已知和目标：

   • 已知：H是G的子群，且H的单位元e_H等于G的单位元e_G（这是你已经证出来的结论）。
   • 目标：对任意h ∈ H，h在H中的逆元与在G中的逆元是同一个元素。

2. 定义相关元素：

   • 设h ∈ H，记h在G中的逆元为g，根据群的定义，满足：h · g = g · h = e_G。
   • 同时，记h在H中的逆元为h'，因为H是子群，所以h' ∈ H，且满足：h · h' = h' · h = e_H。

3. 关键推导：
   因为你已经知道e_H = e_G，所以上面的子群逆元等式可以替换为：h · h' = e_G。
   这里要用到群的一个核心性质：群中每个元素的逆元是唯一的。如果需要补证这个性质的话也很简单：假设元素x有两个逆元a和b，那么a = a · e_G = a · (x · b) = (a · x) · b = e_G · b = b，所以逆元必然唯一。

   现在，h在G中的逆元g满足h · g = e_G，而h'也满足h · h' = e_G，根据逆元的唯一性，必然有h' = g。

这样就完成了证明：H中任意元素的逆元，和它在原群G中的逆元完全是同一个元素～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nima