韦达定理限制应用：求小于100的符合条件的正整数n的数量

问题：请问有多少个小于100的正整数n，存在对应的能被3整除的整数m，使得二次方程$x^2-nx+m=0$的根为连续正整数？

我来一步步拆解这个问题，用韦达定理就能轻松搞定：

• 首先设方程的两个连续正整数根为$k$和$k+1$（$k$是正整数），根据韦达定理：

  • 两根之和：$k + (k+1) = n$，也就是$n = 2k + 1$
  • 两根之积：$k(k+1) = m$

• 题目要求$m$能被3整除，而$k$和$k+1$是连续整数，它们互质，所以要么$k$是3的倍数，要么$k+1$是3的倍数，二选一：

  1. 当$k$是3的倍数时，$k = 3t$（$t$是正整数），代入$n=2k+1$得$n=6t+1$，同时$n<100$，即$6t+1<100$ → $t<16.5$，所以$t$可取1到16，对应16个$n$；
  2. 当$k+1$是3的倍数时，$k+1=3t$ → $k=3t-1$，代入$n=2k+1$得$n=2(3t-1)+1=6t-1$，同样$n<100$ → $6t-1<100$ → $t<16.83$，$t$可取1到16，对应16个$n$；

• 把两种情况加起来，$16+16=32$，而且这些$n$都是小于100的正整数，不会重复（因为$6t+1$和$6t-1$是不同的奇数，不会重叠）。

所以最终答案是32个。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A Piercing Arrow