求证：局部欧几里得空间的连通分支是开集

这是拓扑里的经典结论，你的思路方向完全没问题，我们把细节补全、一步步捋清楚：

首先先明确局部欧几里得空间的定义：拓扑空间$X$被称为局部欧几里得的，当且仅当对每一点$x \in X$，都存在：

• $x$的一个开邻域$U \subseteq X$
• 正整数$n$
• 同胚映射$\phi: U \to V$，其中$V$是$\mathbb{R}^n$中的开子集

接下来开始证明：

• 任取$X$的一个连通分支$Y$，再取任意一点$y \in Y$。
• 由于$X$是局部欧几里得空间，根据定义，存在$y$的开邻域$U \subseteq X$，以及同胚$\phi: U \to V$（$V$是$\mathbb{R}^n$中的开集）。
• 考虑交集$U \cap Y$：因为$Y$是$y$的连通分支（即包含$y$的最大连通子集），所以$U \cap Y$是$U$中包含$y$的连通子集（它是连通集$Y$与开集$U$的交集，核心是$Y$本身的连通性保证了这个交集的连通性）。
• 借助同胚$\phi$的性质：$\phi(U \cap Y)$是$V$中的连通子集（同胚映射会保持连通性），且$\phi(y) \in \phi(U \cap Y)$。
• 利用欧氏空间的局部连通性：$\mathbb{R}^{n$是局部道路连通（自然也是局部连通）的空间，所以$V$作为$\mathbb{R}}n$的开子集，同样具有局部连通性。因此存在以$\phi(y)$为中心的开球$B \subseteq V$，这个开球$B$是连通的（道路连通必然连通），而且我们可以取足够小的$B$，让它完全包含在$\phi(U \cap Y)$内。
• 拉回开球到$X$中：因为$\phi$是同胚（既是连续映射也是开映射），所以$\phi^{{-1}(B)$是$U$中的开集，自然也是$X$中的开集。同时，$\phi}{-1}(B)$是连通的（同胚保持连通性），且包含$y$。
• 最后验证包含关系：由于$Y$是$y$的连通分支（包含$y$的最大连通子集），而$\phi^{{-1}(B)$是包含$y$的连通集，因此$\phi}{-1}(B) \subseteq Y$。

这就意味着，$Y$中的每一点$y$都有一个完全包含在$Y$中的开邻域$\phi^{-1}(B)$，根据开集的定义，$Y$是$X$中的开集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pedro J. Trejo