如何证明$rac{dx}{u} = rac{dy}{v} =rac{dz}{w}$的解曲线与曲面$u dx + v dy +w dz =0$正交？

我来帮你把这个证明过程梳理清楚，核心就是从曲线切向量和曲面法向量的关系入手：

1. 分析微分方程组解曲线的切向量
   设 $\Gamma: x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ 是方程组 $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w}$ 的任意一条解曲线。根据方程组的定义，存在一个非零的比例函数 $k(t)$，使得：
   $$
   \frac{dx/dt}{u} = \frac{dy/dt}{v} = \frac{dz/dt}{w} = k(t)
   $$
   由此可以得到曲线 $\Gamma$ 在任意点的切向量：
   $$
   \vec{T} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = k(t) \cdot (u, v, w)
   $$
   这说明曲线的切向量与向量 $(u, v, w)$ 共线。

2. 分析曲面的法向量
   设 $\Sigma: F(x,y,z)=C$（$C$ 为常数）是满足 $u dx + v dy + w dz = 0$ 的任意一个曲面。根据多元函数全微分的定义，曲面 $\Sigma$ 在任意点的全微分为：
   $$
   dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy + \frac{\partial F}{\partial z}dz = 0
   $$
   对比给定的条件 $u dx + v dy + w dz = 0$，可知向量 $\left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$ 与 $(u, v, w)$ 成比例，而前者正是曲面 $\Sigma$ 的梯度（法向量） $\vec{n}$。也就是说：
   $$
   \vec{n} = \lambda \cdot (u, v, w) \quad (\lambda \text{ 为非零常数})
   $$
   即曲面的法向量也与向量 $(u, v, w)$ 共线。

3. 推导正交关系
   结合前两步的结论，曲线 $\Gamma$ 的切向量 $\vec{T}$ 和曲面 $\Sigma$ 的法向量 $\vec{n}$ 都与 $(u, v, w)$ 共线，因此 $\vec{T}$ 与 $\vec{n}$ 互相平行。

而曲线与曲面正交的定义是：曲线在交点处的切向量垂直于曲面的切平面。由于曲面的法向量本身就垂直于切平面，平行于法向量的切向量自然也垂直于切平面，这就证明了微分方程组的解曲线与满足 $u dx + v dy + w dz = 0$ 的曲面相正交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BAYMAX