下述有限维子空间零化子与对偶空间关系的证明是否正确？

我把这个定理和对应的证明用规范的Markdown格式整理好了，逻辑更清晰易读：

定理内容：设 ( V ) 是有限维向量空间，( U \subset V )。则 ( U = {0} ) 当且仅当 ( U^0 = V' )（注：( V' ) 表示 ( V ) 的对偶空间，( U^0 ) 表示 ( U ) 的零化子，即所有满足「对任意 ( u \in U ) 都有 ( \varphi(u)=0 )」的线性泛函 ( \varphi \in V' ) 的集合）。

证明 #

(⇒) 必要性：若 ( U = {0} )，则 ( U^0 = V' ) #

假设 ( U = {0} )，任取 ( \varphi \in V' )。根据线性泛函的基本性质，( \varphi(0) = 0 ) 恒成立，而 ( U ) 中只有零向量，所以 ( \varphi ) 完全满足零化子的定义，即 ( \varphi \in U^0 )。

由于 ( \varphi ) 是 ( V' ) 中的任意元素，因此 ( V' \subseteq U^0 )；又因为零化子本身是 ( V' ) 的子集（( U^0 \subseteq V' )），二者互相包含，故 ( U^0 = V' )。

(⇐) 充分性：若 ( U^0 = V' )，则 ( U = {0} ) #

反之，假设 ( U^0 = V' )，任取 ( u \in U )。取 ( V ) 的一组基 ( v_1, v_2, \dots, v_n )，对应的对偶基为 ( \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n )（对偶基的核心性质是 ( \varphi_i(v_j) = \delta_{ij} )，即当 ( i=j ) 时取值为1，否则为0）。

因为 ( \varphi_i \in V' = U^0 )，根据零化子的定义，对任意 ( u \in U )，都有 ( \varphi_i(u) = 0 )（( i=1,2,\dots,n )）。设 ( u ) 在基 ( {v_1,\dots,v_n} ) 下的表示为 ( u = a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n )（其中 ( a_i ) 是向量空间基域中的元素），则：
[
\varphi_i(u) = \varphi_i\left(\sum_{k=1}^n a_kv_k\right) = \sum_{k=1}^n a_k\varphi_i(v_k) = a_i\varphi_i(v_i) = a_i
]
由于 ( \varphi_i(u)=0 )，所以 ( a_i=0 ) 对所有 ( i ) 成立，因此 ( u = 0 )。由 ( u ) 的任意性可知 ( U = {0} )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者atifcppprogrammer