霍普夫纤维化是浸没的证明疑问：为何证3阶子式非零？

嘿，我来帮你理清这个困惑～咱们一步步拆解：

先明确核心定义 #

浸没的定义是：对于光滑映射$F: M \to N$，若在每一点$p \in M$，微分$dF_p$都是满射，则$F$是浸没。对应到你的问题里，$\mathbb{S}^{3$是3维流形，$\mathbb{S}}2$是2维流形，所以我们需要证明$rank(dF_p) = 2$，也就是微分映射的秩等于余定义域的维数。

为什么笔记里会提到3阶非零子式？ #

你给出的映射$F: \mathbb{S}^3 \to \mathbb{S}^{2$，其实是从$\mathbb{R}}4$到$\mathbb{R}^{3$的映射$\tilde{F}$限制在$\mathbb{S}}3$上的结果（可以验证$\tilde{F}$把$\mathbb{S}^{3$的点都映射到$\mathbb{S}}2$上，因为$|\tilde{F}(x,y,u,v)|=1$）。$\tilde{F}$的雅可比矩阵是3行4列的：

J\tilde{F} = \begin{pmatrix}
2u & 2v & 2x & 2y \\
2v & -2u & 2y & -2x \\
-2x & -2y & 2u & 2v
\end{pmatrix}

笔记里证明存在3阶非零子式，是为了说明**$\tilde{F}$的微分$d\tilde{F}_p$是满射到$\mathbb{R}^{3$的**（因为3行4列矩阵的秩为3，意味着它可以张满整个$\mathbb{R}}3$）。

这和浸没要求的秩2不矛盾吗？ #

完全不矛盾！关键在于：$dF_p$是$d\tilde{F}_p$在$\mathbb{S}^{3$的切空间$T_p\mathbb{S}}3$上的限制，而$T_p\mathbb{S}^{3$是$\mathbb{R}}4$中与$p=(x,y,u,v)$垂直的3维子空间。同时，$\tilde{F}$把$\mathbb{S}^{3$映射到$\mathbb{S}}2$，所以$d\tilde{F}p(T_p\mathbb{S}^{3)$必然包含在$\mathbb{S}}2$在$F(p)$点的切空间$T{F(p)}\mathbb{S}^2$里——这是一个2维子空间。

接下来用直和的逻辑推导：

• $d\tilde{F}_p$可以把$\mathbb{R}^{4$分解为$T_p\mathbb{S}}3 \oplus \text{span}(p)$（因为$\mathbb{S}^{3$是$\mathbb{R}}4$中的单位球面，切空间和径向方向垂直）。
• 计算$d\tilde{F}_p(p)$会得到$2F(p)$，这是沿着$\mathbb{S}^{2$径向的向量，和$T_{F(p)}\mathbb{S}}2$垂直，所以$d\tilde{F}_p(\text{span}(p))$是1维的，且与$d\tilde{F}_p(T_p\mathbb{S}^3)$正交。
• 既然$d\tilde{F}_p$是满射到$\mathbb{R}^{3$，那么$\mathbb{R}}3$就等于这两个正交子空间的直和：$d\tilde{F}_p(T_p\mathbb{S}^3) \oplus d\tilde{F}_p(\text{span}(p))$。如果$d\tilde{F}_p(T_p\mathbb{S}^{3)$的秩是1，那直和起来最多是2维，不可能覆盖3维的$\mathbb{R}}3$，这就矛盾了！

所以$d\tilde{F}_p(T_p\mathbb{S}^3)$的秩只能是2，也就是$dF_p$的秩为2，满足浸没的定义。

总结一下 #

笔记里用“存在3阶非零子式”证明$\tilde{F}$的微分满射到$\mathbb{R}^{3$，再结合流形切空间的正交分解，反向推导得出$F$的微分满射到$\mathbb{S}}2$的切空间，最终证明$F$是浸没。这是一种间接但严谨的论证方式，和你理解的“证明存在2阶非零子式且所有3阶子式为零”的直接证法只是路径不同，本质是一致的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cesare Kalb.