在ℝⁿ-{0}上计算(n-1)-形式ω的外微分dω（求后续步骤）

首先，你已经迈出了正确的第一步：将外微分算子分配到求和的每一项，得到
$$d\omega=\sum_{i=1}^n(-1){i-1}df_i\wedge dx_{1}\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \dots\wedge dx_{n}$$
接下来我们一步步拆解推导，把每一步的逻辑理清楚。

第一步：计算$df_i$ #

已知$f_i = \frac{x_i}{|x|^m}$，其中$|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^{2}$，即$|x|}m = (x_1^2 + \dots + x_n²⁾{m/2}$。我们用链式法则求偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$，分两种情况讨论：

情况1：$j = i$ #

$$
\begin{align*}
\frac{\partial f_i}{\partial x_i} &= \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \frac{x_i}{|x|^m} \right) \
&= \frac{|x|^m \cdot 1 - x_i \cdot \frac{m}{2}(x_1^2+\dots+x_n2)^{(m/2)-1}\cdot 2x_i}{|x|^{2m}} \
&= \frac{|x|^m - m x_i^2 |x|^{m-2}}{|x|{2m}} \
&= \frac{|x|^2 - m x_i^2}{|x|{m+2}}
\end{align*}
$$

情况2：$j \neq i$ #

此时$\frac{\partial x_i}{\partial x_j} = 0$，直接对$|x|^{-m}$求导即可：
$$
\begin{align*}
\frac{\partial f_i}{\partial x_j} &= \frac{\partial}{\partial x_j}\left( x_i |x|^{-m} \right) \
&= x_i \cdot (-m)|x|^{-m-1} \cdot \frac{x_j}{|x|} \
&= -\frac{m x_i x_j}{|x|^{m+2}}
\end{align*}
$$

因此，$f_i$的外微分可表示为：
$$df_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j$$

第二步：代入$df_i$并化简$d\omega$ #

将$df_i$代入$d\omega$的表达式，得到双重求和式：
$$d\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j \right) \wedge dx_1 \wedge \dots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \dots \wedge dx_n$$

我们把这个求和拆成**$j=i$和$j \neq i$**两部分分别处理：

部分1：$j = i$的项 #

当$j=i$时，需要计算$dx_i \wedge dx_1 \wedge \dots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \dots \wedge dx_n$。后面的$(n-1)$-形式是去掉$dx_i$的标准基外积，要把$dx_i$插入到它的正确位置（第$i$位），需要将$dx_i$与前面的$(i-1)$个微分形式交换位置，每次交换改变符号，因此：
$$dx_i \wedge dx_1 \wedge \dots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \dots \wedge dx_n = (-1)^{i-1} dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n$$

代入这部分的项：
$$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_i} \cdot (-1)^{i-1} dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_i} dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n
\end{align*}
$$
这里$(-1)^{i-1} \cdot (-1)^{i-1} = (-1)^{2(i-1)} = 1$，符号抵消了。

接下来计算$\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_i}$：
$$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n \frac{|x|^2 - m x_i^2}{|x|{m+2}} &= \frac{n|x|^2 - m \sum_{i=1}^n x_i^2}{|x|{m+2}} \
&= \frac{n|x|^2 - m|x|^2}{|x|{m+2}} \
&= \frac{(n - m)|x|^2}{|x|{m+2}} \
&= \frac{n - m}{|x|^m}
\end{align*}
$$

所以这部分的结果是：
$$\frac{n - m}{|x|^m} dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n$$

部分2：$j \neq i$的项 #

这里有个外积的核心性质要注意：外积是反对称的，若出现重复的微分形式，结果直接为0。当$j \neq i$时，$dx_j$已经包含在$dx_1 \wedge \dots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \dots \wedge dx_n$中（我们只去掉了$dx_i$），所以$dx_j \wedge [dx_1 \wedge \dots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \dots \wedge dx_n] = 0$，因为$dx_j$重复出现了。

因此，所有$j \neq i$的项都等于0，这部分整体为0。

最终结果 #

将两部分相加，得到：
$$d\omega = \frac{n - m}{|x|^m} dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user447261