两（可能独立）变量似然函数及城市能耗观测似然函数求解咨询

嘿，咱们先把这个问题的核心逻辑拆解开——你的疑惑点其实是卡在「观测值的构成」和「两个分布怎么联合」上，这很正常，毕竟涉及到连续+离散分布的混合，咱们一步步来：

统计问题里，似然函数的推导离不开明确的前提，咱们先把问题里隐含的（和你提到的）假设落地：

• 投产前（第1到第θ天）：城市每天的能耗是独立同分布的正态变量，即 $Y_i \sim N(\mu=100, \sigma^2=1)$；
• 投产后（第θ+1到第n天）：每天的总能耗 = 原有城市能耗 + 新工厂能耗，也就是 $X_i = Y_i + Z_i$；
  • 原有城市能耗依然服从 $N(100,1)$，且和所有其他天的能耗（不管是原有还是新工厂的）独立；
  • 新工厂每天的能耗是独立同分布的泊松变量，即 $Z_i \sim \text{Poisson}(\lambda=\theta)$，且和原有城市能耗独立；
• 观测值 $x_1, x_2, ..., x_n$ 对应第1到第n天的能耗数据，咱们明确知道哪些是投产前、哪些是投产后的（如果θ是未知参数，后面会单独说）。

情况1：θ是已知的（明确知道投产日期） #

这时候观测值分成两部分，咱们分别计算它们的联合概率，再相乘得到总似然：

投产前的θ个数据 #

每个数据都是纯城市能耗，服从正态分布，联合概率密度（连续型变量用密度）为：
$$
L_1 = \prod_{i=1}^\theta \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x_i - 100)^2}{2} \right)
$$
（因为σ=1，所以简化了分母里的σ项）

投产后的n-θ个数据 #

这部分是连续正态变量+离散泊松变量的和，它的概率密度需要用卷积计算（本质就是你说的「联合概率的边缘分布」）：
对于每个投产后的观测值$x_i$，它的密度是所有可能的新工厂能耗k对应的联合概率之和：
$$
f_X(x_i) = \sum_{k=0}^{\lfloor x_i \rfloor} P(Z_i=k) \cdot f_Y(x_i - k)
$$
代入泊松和正态的概率公式，就是：
$$
f_X(x_i) = \sum_{k=0}^{\lfloor x_i \rfloor} \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x_i - k - 100)^2}{2} \right)
$$
（注：当$x_i - k < 0$时，正态密度为0，所以k只需要取到不超过$x_i$的非负整数）

那么投产后n-θ个数据的联合密度就是：
$$
L_2 = \prod_{i=\theta+1}^n \left( \sum_{k=0}^{\lfloor x_i \rfloor} \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x_i - k - 100)^2}{2} \right) \right)
$$

总似然函数 #

把两部分相乘，就是整个观测值的似然函数：
$$
L = L_1 \times L_2
$$

情况2：θ是未知参数（需要通过数据估计投产日期） #

如果θ是我们要估计的参数（比如不知道哪天投产，只能从数据里猜），那似然函数就变成了关于θ的函数——对于每个可能的θ（θ可以取0到n之间的整数，比如θ=0代表第一天就投产，θ=n代表全程没投产），似然函数就是对应θ已知时的$L_1 \times L_2$，我们要找能让这个乘积最大的θ值。

你提到的「写出城市能耗与新工厂能耗的联合概率」这个思路完全正确！
因为投产后的总能耗是两个独立变量的和，我们必须先写出它们的联合概率（混合连续-离散型：$f_{Y,Z}(y,k) = f_Y(y) \times P(Z=k)$），再通过对离散变量k求和得到总能耗的边缘密度——这正是我们上面推导投产后密度的核心逻辑，不用怀疑这个方向~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者liz