Banach空间满射有界线性算子：集合像闭等价性反向证明求解

哇，你已经搞定了正向证明，这很棒！接下来我们来梳理反向方向的证明——也就是当$T(A_1)$是闭集时，证明$A_1 + \ker(T)$是闭集。其实有两种思路，一种是用序列收敛的方法（更直观），另一种可以结合你提到的补集性质和开映射定理，我们都来看看：

方法一：序列收敛法 #

要证明$A_1 + \ker(T)$是闭集，我们只需要验证：任意收敛到$A$中元素的序列$x_n \in A_1 + \ker(T)$，其极限也属于$A_1 + \ker(T)$。

1. 取任意序列$x_n \in A_1 + \ker(T)$，则对每个$n$，可以写成$x_n = a_n + k_n$，其中$a_n \in A_1$，$k_n \in \ker(T)$。
2. 假设$x_n \to x \in A$（按$A$中的范数收敛）。因为$T$是有界线性算子，所以$T$是连续的，因此$T(x_n) \to T(x)$。
3. 注意到$T(k_n) = 0$（因为$k_n \in \ker(T)$），所以$T(x_n) = T(a_n)$。这意味着序列$T(a_n)$收敛到$T(x)$。
4. 已知$T(A_1)$是闭集，所以$T(x)$必须属于$T(A_1)$。也就是说，存在某个$a \in A_1$，使得$T(x) = T(a)$。
5. 由$T(x) = T(a)$可得$x - a \in \ker(T)$，因此$x = a + (x - a)$，其中$a \in A_1$，$x - a \in \ker(T)$。这就说明$x \in A_1 + \ker(T)$。

这样就完成了反向证明：所有$A_1 + \ker(T)$中的收敛序列的极限都在集合内，因此它是闭集。

方法二：补集+开映射定理法 #

你提到了等式$T(A \setminus [A_1 + \ker(T)]) = B \setminus T(A_1)$，我们可以利用这个性质和开映射定理来证明：

1. 因为$T(A_1)$是闭集，所以它的补集$B \setminus T(A_1)$是$B$中的开集。
2. 由于$T$是Banach空间之间的满射有界线性算子，根据开映射定理，$T$是开映射（即$T$把$A$中的开集映为$B$中的开集）。同时，$T$诱导了商空间$A/\ker(T)$到$B$的同构$\tilde{T}$，这个同构是连续且逆连续的（即同胚）。
3. 由你给出的等式，$A \setminus [A_1 + \ker(T)] = T^{-1}(B \setminus T(A_1))$。因为$\tilde{T}^{-1}$是连续的，$B \setminus T(A_1)$是开集，所以$\tilde{T}^{-1}(B \setminus T(A_1))$是$A/\ker(T)$中的开集。而商映射$\pi: A \to A/\ker(T)$是连续的开映射，它的原像$\pi^{{-1}(\tilde{T}}{-1}(B \setminus T(A_1)))$就是$A \setminus [A_1 + \ker(T)]$，因此这个补集是$A$中的开集。
4. 补集是开集，说明$A_1 + \ker(T)$是闭集。

两种方法都能完成证明，序列法更直接易懂，适合快速理解；补集法则能呼应你之前的猜测，用修改补集的思路来推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rednexela1941