差分算子的“链式法则”：证明Δ(a+bx)^(n)=bn(a+bx)^(n-1)
首先，先明确我们用到的核心定义，避免混淆：
- 下降阶乘：$x^{(n)} = x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)$（当 $n=0$ 时，$x^{(0)}=1$）
- 向前差分算子：$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$
从具体数值入手的推导（以 $a=3, b=2$ 为例）
你已经开始代入具体值展开了，我帮你把这个过程补全：
$$\begin{eqnarray*}
\Delta(3+2x)^{(n)} &=& [3+2(x+1)]^{(n)} - (3+2x)^{(n)} \
&=& (2x+5)^{(n)} - (2x+3)^{(n)}
\end{eqnarray*}$$
我们先拿 $n=2$ 来验证一下：
$$\begin{eqnarray*}
\Delta(3+2x)^{(2)} &=& (2x+5)(2x+4) - (2x+3)(2x+2) \
&=& (4x^2 + 18x + 20) - (4x^2 + 10x + 6) \
&=& 8x + 14
\end{eqnarray*}$$
而按照目标公式计算：$bn(3+2x)^{(n-1)} = 22(3+2x)^{(1)} = 4*(3+2x) = 8x + 12$，这里出现了差异，说明目标公式可能只在特定条件下成立（比如 $b=1$），或者我们需要调整推导思路。
通用情况的正确推导方向
如果我们想推导线性函数下降阶乘的差分，我们可以从下降阶乘的基本差分性质出发：$\Delta x^{(n)} = n x^{(n-1)}$，这是自变量 $x$ 本身的下降阶乘差分公式。对于线性函数 $u(x) = a+bx$，我们可以做变量替换，但注意 $u(x)$ 的差分是 $\Delta u(x) = b$，而离散版本的“链式法则”和连续版本有区别，因为离散差分没有真正的链式法则（除非是复合函数的差分，需要用不同的技巧）。
我们直接展开通用情况的差分：
$$\begin{eqnarray*}
\Delta(a+bx)^{(n)} &=& (a + b(x+1))^{(n)} - (a+bx)^{(n)} \
&=& (u(x) + b)^{(n)} - u(x)^{(n)} \quad \text{（令 } u(x)=a+bx\text{）}
\end{eqnarray*}$$
利用下降阶乘的展开式，我们可以将 $(u+b)^{(n)}$ 展开为：
$$(u+b)(u+b-1)\dots(u+b-n+1) = \sum_{k=0}^n s(n,k) b^k u^{(n-k)}$$
其中 $s(n,k)$ 是第一类斯特林数（无符号）。因此，两者的差为：
$$(u+b)^{(n)} - u^{(n)} = \sum_{k=1}^n s(n,k) b^k u^{(n-k)}$$
当 $b=1$ 时，这个式子就简化为 $\sum_{k=1}^n s(n,k) u^{(n-k)} = n u^{(n-1)}$（因为第一类斯特林数的性质，此时平移后的下降阶乘差分和原自变量的差分性质一致）。
如果我们坚持要得到类似连续链式法则的形式，可能需要重新定义离散的“导数”或者调整下降阶乘的定义，但从严格的差分演算来看，你给出的公式仅在 $b=1$ 时成立，当 $b≠1$ 时会有额外的项。
不过，如果你是想尝试推导这个公式（即使它不完全准确），我们可以用数学归纳法来尝试：
- 基例 $n=1$：$\Delta(a+bx)^{(1)} = (a+b(x+1)) - (a+bx) = b$，而 $bn(a+bx)^{(0)} = b11 = b$，成立。
- 归纳假设：假设当 $n=m$ 时，$\Delta(a+bx)^{(m)} = bm(a+bx)^{(m-1)}$ 成立。
- 归纳步骤：对于 $n=m+1$，$(a+bx)^{(m+1)} = (a+bx)(a+bx-1)^{(m)}$，利用差分的乘积法则 $\Delta(fg) = f(x+1)\Delta g(x) + g(x)\Delta f(x)$：
$$\begin{eqnarray*}
\Delta(a+bx)^{(m+1)} &=& (a+b(x+1))\Delta(a+bx-1)^{(m)} + (a+bx-1)^{(m)}\Delta(a+bx) \
&=& (u+b) \cdot bm(u-1)^{(m-1)} + (u-1)^{(m)} \cdot b \quad \text{（令 } u=a+bx\text{）}
\end{eqnarray*}$$
这里我们可以看到，$(u-1)^{(m)} = (u-1)(u-2)^{(m-1)}$，而 $(u+b)(u-1)^{(m-1)}$ 和 $(u-1)(u-2)^{(m-1)}$ 无法直接合并成 $bm(u)^{(m)}$，除非 $b=1$，这也验证了我们之前的结论。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eleven-Eleven
