求证预簇上整体正则函数诱导的X→𝔸¹映射为态射

我正在啃这个代数几何问题：设$X$是预簇，$f \in \mathcal{O}_X(X)$（也就是$X$上的全局正则函数），要证明由$x \mapsto f(x)$定义的映射$f:X \rightarrow \mathbb{A}^1$是态射。

目前我卡在了证明的核心步骤上：要验证对任意开集$U \subset \mathbb{A}^1$，以及任意$\phi \in \mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}(U)$，拉回$f}*\phi = \phi \circ f$属于$\mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$。

我的初步思路梳理到这里：

• 首先，$\mathbb{A}^{1$里的开集$U$可以写成$\mathbb{A}}1 \setminus {p_1,p_2,...,p_k}$的形式（因为$\mathbb{A}^1$的闭集都是有限点集或者整个空间）
• 对于$U$里的任意一点$a$，在$a$的某个邻域内，$\phi$应该能表示成两个多项式的商——毕竟$\mathcal{O}_{\mathbb{A}^1}$在开集上的截面就是分母在该开集上处处不为零的有理函数
• 但接下来怎么把这个局部性质平移到$X$上，验证$\phi \circ f$在$f^{-1}(U)$的每个点附近都是正则的，我就卡壳了，不知道怎么把局部的正则性拼接起来，或者具体怎么写出每个点邻域上的表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user10039910