求多项式$ax^4+bx^2+1$有二重零点$x=1$时的系数$a$、$b$及解题思路

别慌，这个问题其实可以通过二重零点的两个核心条件一步步拆解解决，我给你理清楚每一步：

首先明确核心逻辑：如果$x=1$是多项式$f(x)=ax^4+bx2+1$的二重零点，必须同时满足两个条件：

1. 多项式在$x=1$处的函数值为0（这是零点的基本要求）；
2. 多项式的导数在$x=1$处的函数值也为0（二重零点意味着这个零点是“重复”的，导数在该点也会触碰到x轴）。

接下来一步步计算：

步骤1：利用$f(1)=0$列出第一个方程 #

把$x=1$代入原多项式：

f(1) = a*(1)^4 + b*(1)^2 + 1 = 0

化简后得到：
$a + b + 1 = 0$ —— 记为方程(1)

步骤2：求导并利用$f'(1)=0$列出第二个方程 #

先对$f(x)$求导（用幂函数求导法则：$(x^n)'=nx{n-1}$）：

f'(x) = 4ax^3 + 2bx

再把$x=1$代入导数：

f'(1) = 4a*(1)^3 + 2b*(1) = 0

化简后得到：
$4a + 2b = 0$，两边除以2简化为：
$2a + b = 0$ —— 记为方程(2)

步骤3：解方程组求a和b #

现在我们有两个联立方程：

• 方程(1)：$a + b = -1$
• 方程(2)：$2a + b = 0$

用方程(2)减去方程(1)消去b：
$(2a + b) - (a + b) = 0 - (-1)$
计算得：$a = 1$

把$a=1$代入方程(1)：
$1 + b = -1$，解得：$b = -2$

验证结果 #

最后可以验证一下，把$a=1$，$b=-2$代入原多项式，得到：
$x^4 - 2x^2 + 1$
因式分解后是$(x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)2$，显然$x=1$是它的二重零点，完全符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者congruencer