证明单位圆盘内紧集上正调和函数的Harnack型双向不等式

咱们一步步来梳理这个证明，核心工具就是正调和函数的Harnack不等式，先明确问题：

设$K$是紧集且$K \subset \mathbb D$（单位圆盘），$a \in K$，$u$是$\mathbb D$上的正调和函数。证明存在常数$C = C(a, K) > 0$，使得对所有$z \in K$满足$$\frac{u(a)}{C} \le u(z) \le Cu(a)$$。补充说明：常数$C$仅依赖$a$和$K$，不依赖$u$。

第一步：利用紧集的边界距离性质 #

因为$K$是$\mathbb D$内的紧集，所以$K$到单位圆盘边界$\partial \mathbb D$的距离$\delta = d(K, \partial \mathbb D) > 0$。这意味着整个$K$都包含在闭圆盘$\overline{\mathbb D(0, 1 - \delta/2)}$里——换句话说，我们可以找到一个小于1的常数$R$（比如$R = 1 - \delta/2$），使得$K \subset \overline{\mathbb D(0, R)} \subset \mathbb D$。

第二步：应用Harnack不等式的全局形式 #

对于单位圆盘内的正调和函数$u$，在闭圆盘$\overline{\mathbb D(0, R)}$上有经典的Harnack估计：
对任意$w \in \overline{\mathbb D(0, R)}$，有
$$\frac{R - |w|}{R + |w|} u(0) \le u(w) \le \frac{R + |w|}{R - |w|} u(0)$$

现在我们把$u(a)$和$u(z)$（$z \in K$）都用$u(0)$来关联：

1. 对$a$，有$u(a) \le \frac{R + |a|}{R - |a|} u(0)$，同时$u(0) \le \frac{R + |z|}{R - |z|} u(z)$，联立得：
   $$u(a) \le \frac{R + |a|}{R - |a|} \cdot \frac{R + |z|}{R - |z|} u(z)$$
   整理一下就是：
   $$u(z) \ge u(a) \cdot \frac{(R - |a|)(R - |z|)}{(R + |a|)(R + |z|)}$$

2. 反过来，对$z$，有$u(z) \le \frac{R + |z|}{R - |z|} u(0)$，同时$u(0) \le \frac{R + |a|}{R - |a|} u(a)$，联立得：
   $$u(z) \le \frac{R + |z|}{R - |z|} \cdot \frac{R + |a|}{R - |a|} u(a)$$

第三步：确定常数$C$ #

因为$K$是紧集，$|z|$在$K$上的取值范围是有界的（最大不超过$R$），所以：

• 比值$\frac{(R - |a|)(R - |z|)}{(R + |a|)(R + |z|)}$有一个正的下界，记为$\frac{1}{C}$；
• 比值$\frac{(R + |z|)(R + |a|)}{(R - |z|)(R - |a|)}$有一个上界，记为$C$。

这个$C$只依赖$a$的位置（由$|a|$体现）和$K$的范围（由$R$决定，而$R$来自$K$到边界的距离），完全不依赖正调和函数$u$。把这两个不等式合起来，就得到：
$$\frac{u(a)}{C} \le u(z) \le Cu(a)$$

如果想更严谨地避开原点，也可以用局部Harnack不等式+有限覆盖的思路：

• 因为$K$紧，我们可以用有限个半径为$\epsilon$的圆盘覆盖$K$，每个圆盘都完全包含在$\mathbb D$内；
• 对相邻的覆盖圆盘，利用局部Harnack不等式，正调和函数在交集内的取值可以互相估计；
• 通过链式传递，从$a$出发到任意$z \in K$，经过有限次估计后就能得到只依赖$a$和$K$的常数$C$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user476533