求分段函数$f:[0,2] \to \mathbb{R}$的连续点并验证判断正确性

你的判断完全正确！咱们可以把推导细节拆解清楚，让逻辑更扎实：

首先回忆函数在某点连续的核心定义：函数在点$x_0$连续，当且仅当$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，且左右极限均存在并等于该点的函数值。

接下来分区间逐一分析：

• 当$0 \leq x < 1$时，$f(x)=11$是常数函数，常数函数在其定义域内处处连续，因此这个区间内的所有点都满足连续条件。
• 当$1 < x \leq 2$时，$f(x)=x$是一次多项式函数，多项式函数在实数域上处处连续，所以这个区间内的所有点也都是连续点。

重点来看$x=1$这个点：

• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 11 = 11$
• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

由于左极限和右极限不相等，$\lim_{x \to 1} f(x)$不存在，因此无论$f(1)$取何值（原分段定义未明确$x=1$的函数值，但函数定义域包含$x=1$），$x=1$都必然是间断点。

综上，函数$f(x)$在区间$[0,1) \cup (1,2]$上的所有点处连续，仅在$x=1$处间断。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem