关于向量空间基的疑问：子集R是V的基，S是否也为V的基？

嘿，咱们一步一步来拆解你提的这两个问题：

问题1：已知R是V的基且R⊆S，S是否能成为V的基？ #

答案是不一定。要搞清楚这个，得回忆一下基的两个核心判定条件：

• 向量组线性无关
• 向量组能张成整个向量空间V

R已经是V的基了，所以它天然满足这两个条件：R线性无关，且span(R)=V。而S包含R，所以span(S)肯定等于V（毕竟R已经能张成全空间了），但S的线性无关性是没法直接保证的：

• 如果S和R完全相等（也就是S=R），那S肯定是基；
• 但如果S里多了一个能被R线性表出的向量，比如在二维欧氏空间R²中，R={(1,0),(0,1)}是基，S={(1,0),(0,1),(1,1)}，这时候(1,1)=1*(1,0)+1*(0,1)，S就线性相关了，自然没法成为基。

只有当S本身是线性无关的向量组时，它才能成为V的基——但这种情况只有S=R的时候才会发生，因为R已经是空间的极大线性无关组，再多加任何一个V中的向量都会让组线性相关。

问题2：如果S确实能成为V的基，是否能得出S至少包含n个向量（R有n个向量）？ #

答案是是的，而且S刚好包含n个向量。因为向量空间的维数是由基中向量的个数决定的——所有基的向量个数都等于空间的维数n（R是基，所以V的维数就是n）。如果S是V的基，那它的向量个数必须是n，而R是S的子集且有n个向量，这说明S只能和R完全相等，所以S的向量个数等于n，当然满足“至少n个”的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者arad