求解Logistic函数参数：是否存在闭式解？

嘿，这个问题问得挺到位的！其实是存在闭式解的，咱们一步步推导出来看看：

推导步骤 #

首先，咱们先把两个已知的Logistic方程变形，把指数项单独拎出来，方便后续处理：

1. 从第一个方程 $y_1 = \frac{1}{1 + e^{-k(x_1-X)}}$ 开始：

   • 两边取倒数：$\frac{1}{y_1} = 1 + e^{-k(x_1-X)}$
   • 移项得到单独的指数项：$e^{-k(x_1-X)} = \frac{1 - y_1}{y_1}$
   • 两边取自然对数消去指数：$-k(x_1 - X) = \ln\left(\frac{1 - y_1}{y_1}\right)$ ——（式1）

2. 再处理第二个方程 $2y_1 = \frac{1}{1 + e^{-k(x_2-X)}}$：

   • 同样取倒数：$\frac{1}{2y_1} = 1 + e^{-k(x_2-X)}$
   • 移项得到指数项：$e^{-k(x_2-X)} = \frac{1 - 2y_1}{2y_1}$
   • 两边取自然对数：$-k(x_2 - X) = \ln\left(\frac{1 - 2y_1}{2y_1}\right)$ ——（式2）

现在我们得到了两个关于 $k$ 和 $X$ 的线性方程，用消元法求解就很简单了：

• 先把式1和式2整理成更直观的形式：
  $k(X - x_1) = \ln\left(\frac{1 - y_1}{y_1}\right)$ ——（式1a）
  $k(X - x_2) = \ln\left(\frac{1 - 2y_1}{2y_1}\right)$ ——（式2a）
• 用式1a减去式2a，消掉 $X$：
  $k[(X - x_1) - (X - x_2)] = \ln\left(\frac{1 - y_1}{y_1}\right) - \ln\left(\frac{1 - 2y_1}{2y_1}\right)$
• 左边化简后是 $k(x_2 - x_1)$，右边利用对数减法性质 $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$，且分子分母的 $y_1$ 可约掉：
  $k(x_2 - x_1) = \ln\left( \frac{2(1 - y_1)}{1 - 2y_1} \right)$
• 直接解出 $k$ 的闭式解：
  $$k = \frac{\ln\left( \frac{2(1 - y_1)}{1 - 2y_1} \right)}{x_2 - x_1}$$

接下来把 $k$ 代入式1a，求出 $X$：
$$X = x_1 + \frac{\ln\left( \frac{1 - y_1}{y_1} \right)}{k}$$
把刚才得到的 $k$ 代入，最终 $X$ 的闭式解为：
$$X = x_1 + \frac{\ln\left( \frac{1 - y_1}{y_1} \right) \cdot (x_2 - x_1)}{\ln\left( \frac{2(1 - y_1)}{1 - 2y_1} \right)}$$

重要注意事项 #

这里有个必须满足的前提：因为Logistic函数的值域是 $(0,1)$，所以 $2y_1$ 必须小于1，也就是 $y_1 < 0.5$。如果 $y_1 \geq 0.5$，第二个方程 $2y_1 = \frac{1}{1 + e^{-k(x_2-X)}}$ 根本没有解——毕竟右边的Logistic函数最大值就是1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者guero64