咨询：证明满足f(0)=0,f’(0)=1的单位圆盘解析函数族非正规的方法

嘿，这个问题其实可以通过构造一个“不听话”的函数列来解决——找到一个属于$F$的函数列，它在某个紧子集上根本找不到一致收敛的子列，直接打破正规族的定义就行。

构造反例函数列 #

考虑函数列：
$$f_n(z) = \frac{z}{1 - n z}$$

先验证它完全符合$F$的要求：

• 代入$z=0$，$f_n(0) = \frac{0}{1 - 0} = 0$，满足$f(0)=0$；
• 求导计算$f_n'(z) = \frac{(1 - n z) + n z}{(1 - n z)^2} = \frac{1}{(1 - n z)^2}$，所以$f_n'(0) = 1$，也满足$f'(0)=1$。也就是说，每个$f_n$都属于$F$。

分析该函数列不满足正规族条件 #

我们取单位圆盘内的一个紧子集，比如闭圆盘$\overline{B(0, \frac{1}{2})}$（它完全包含在$B(0,1)$内，是个合法的紧子集）。

对于每个$n \geq 2$，点$z_n = \frac{1}{n}$都在$\overline{B(0, \frac{1}{2})}$里（毕竟$\frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}$），但计算$f_n$在这个点的值：
$$f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{\frac{1}{n}}{1 - n \cdot \frac{1}{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{0}$$
这意味着当$n$越来越大时，$f_n$在$z_n$处的值会趋向于无穷大。

现在看这个函数列的任意子列${f_{n_k}}$：对应的点$z_{n_k} = \frac{1}{n_k}$同样在$\overline{B(0, \frac{1}{2})}$内，而且$f_{n_k}(z_{n_k})$也会趋向于无穷大。但我们知道，如果一个函数列在紧子集上一致收敛，那它必然在这个紧子集上一致有界——显然这个子列做不到这一点，所以它不可能在$\overline{B(0, \frac{1}{2})}$上一致收敛。

这样一来，我们就找到了$F$中的一个子列，它不存在在某个紧子集上一致收敛的子列，直接证明了$F$不是正规族。

另外，也可以用Montel定理辅助理解：Montel定理说区域内的解析函数族如果局部有界就是正规族，反过来，如果不是正规族，那它肯定不是局部有界的。我们构造的这个函数列正好说明$F$在$\overline{B(0, \frac{1}{2})}$上不是有界的，自然不满足正规族的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Burgundy