满足不可约多项式根封闭性的复数子集A的技术探讨

咱们先来定义复数集 $\mathbb{C}$ 的一类特殊子集：如果子集 $A \subset \mathbb{C}$ 满足根封闭性，就意味着它符合以下规则：

若有理系数多项式环 $\mathbb{Q}[X]$ 中的不可约多项式 $f$ 有一个根落在 $A$ 里，那么 $f$ 的所有根都必须属于 $A$。

两个典型例子 #

• 有理数集 $\mathbb{Q}$：
  拿 $\mathbb{Q}[X]$ 里的不可约多项式 $f$ 来说，如果它有一个根是有理数，那这个多项式只能是一次的，也就是形如 f = X - a（其中 $a \in \mathbb{Q}$），它唯一的根就是 $a$，肯定在 $\mathbb{Q}$ 里，所以完全符合根封闭性的要求。
• 空集 $\emptyset$：
  这是个很有意思的平凡情况——要是说某个不可约多项式 $f$ 有一个根属于空集，那这个前提本身就不可能成立，所以“所有根都属于空集”这个结论在逻辑上是自动成立的（这就是逻辑里的空真命题哦）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mastrem