关于特定组合求和式的值与概率解释的技术问询

嘿，你猜得完全没错！这个求和式的值确实等于1，而且用一个直观的抽样概率模型就能轻松解释清楚，我给你梳理一下这个思路：

概率模型设定 #

想象我们有一个袋子，里面装着 n个红球（记为类型A）和 m个蓝球（记为类型B），总共m+n个球。我们进行不放回抽样：每次从袋子里抽一个球，直到抽到第k个红球为止。

设随机变量X表示「抽到第k个红球时，已经抽到的蓝球数量」，那么X的可能取值是0,1,2,...,m（最多抽完所有蓝球才抽到第k个红球）。

计算X=r的概率 #

当X=r时，意味着我们一共抽了r+k次球：

1. 前r+k-1次抽到了k-1个红球和r个蓝球；
2. 第r+k次抽到的是红球。

我们来计算这个事件的概率：

• 前r+k-1次从n-1个红球里选k-1个、m个蓝球里选r个的组合数是 C(n-1, k-1)*C(m, r)；
• 前r+k-1次从总球数m+n-1里选r+k-1个的组合数是 C(m+n-1, r+k-1)；
• 第r+k次抽到红球的概率是 (n - k + 1)/(m+n - r -k +1)（此时袋子里还剩n-k+1个红球，总球数剩m+n -r -k +1个）。

把这些结合起来化简后，你会发现：
$$P(X=r) = \frac{k{m\choose r}{n\choose k}}{(r + k){m + n\choose r + k}}$$

这正好就是求和式里的每一项！

为什么求和等于1 #

因为X是一个合法的随机变量，它所有可能取值的概率之和必然是1——毕竟我们总会抽到第k个红球，不可能出现永远抽不到的情况。所以：
$$\sum_{r = 0}^m P(X=r) = \sum_{r = 0}^m \frac{k{m\choose r}{n\choose k}}{(r + k){m + n\choose r + k}} = 1$$

这样是不是就把求和式和概率场景完美对应起来了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Azlif