求生成服从指定密度函数随机变量的第二种算法（已掌握一种）

嘿，先帮你澄清一个关键误区：你当前尝试的步骤并不能生成服从目标密度的随机变量。直接把Unif(0,1)的随机数代入$f(x)$，得到的只是密度函数在该点的取值，和符合目标分布的样本完全是两回事。下面给你两种实用的正确生成方法：

方法一：逆变换采样法 #

逆变换是生成随机变量的经典方法，核心思路是先求出累积分布函数（CDF），再对其求逆，最后用均匀随机数代入逆函数得到样本。

1. 计算目标分布的CDF
   对密度函数$f(t)$从0到x积分，得到累积分布函数$F(x)$：
   $$
   F(x) = \int_{0}^{x} \left( \frac{1}{4} + 2t^3 + \frac{5}{4}t^4 \right) dt
   $$
   计算后得到：
   $$
   F(x) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{4}x^5 \quad (0<x<1)
   $$
   验证一下：当$x=1$时，$F(1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$，完全符合CDF的性质。

2. 生成样本的具体步骤

   • 生成一个$\text{Unif}(0,1)$的随机数$U$
   • 解方程$\frac{1}{4}X + \frac{1}{2}X^4 + \frac{1}{4}X^5 = U$，得到的$X$就是符合目标密度的随机变量。
   • 由于这个方程没有解析解，你需要用数值方法（比如牛顿-拉夫逊迭代）来求解$X$，只要迭代初始值选在(0,1)区间内，收敛速度会很快。

方法二：接受-拒绝采样法 #

如果逆变换的数值求解对你来说有点麻烦，接受-拒绝法是个不错的替代方案，它用一个容易采样的“提议分布”来覆盖目标分布，通过筛选得到有效样本。

1. 选择提议分布并确定常数$M$
   我们选最简单的$\text{Unif}(0,1)$作为提议分布，它的密度$g(x)=1$（$0<x<1$）。接下来要找一个常数$M$，使得$f(x) \leq M \cdot g(x)$对所有$0<x<1$成立。

   先求$f(x)$在(0,1)的最大值：对$f(x)$求导得$f'(x)=6x² + 5x³$，在(0,1)区间内导数始终为正，说明$f(x)$是单调递增的，所以在$x=1$处取最大值：
   $$
   f(1)=\frac{1}{4}+2+\frac{5}{4}=4
   $$
   所以取$M=4$，此时$f(x) \leq 4 \times 1$对所有$0<x<1$都成立。

2. 生成样本的具体步骤

   • 生成第一个均匀随机数$X \sim \text{Unif}(0,1)$
   • 生成第二个均匀随机数$Y \sim \text{Unif}(0,1)$
   • 判断：如果$Y \leq \frac{f(X)}{M} = \frac{1}{4}f(X)$，就接受$X$作为目标样本；如果不满足，就拒绝$X$，重复上述步骤直到得到一个被接受的样本。

小补充 #

• 逆变换采样的优势是每个均匀随机数最终都能得到一个有效样本（只要数值解方程收敛），而接受-拒绝法会有一定的拒绝率，这里的拒绝率是$1-\frac{1}{4}=75%$，也就是平均每4次尝试能得到1个有效样本。
• 如果想降低拒绝率，也可以选择更贴近目标分布的提议分布（比如某个Beta分布），不过计算$M$的过程会稍微复杂一点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guest