不可约仿射簇的Krull高度定理证明：Vakil习题11.3.H求解

最近啃Vakil的代数几何笔记时碰到了习题11.3.H，这里把我的证明思路整理出来，一步步拆解问题：

问题明确 #

设$X = \mathrm{Spec} A$是不可约仿射$k$-簇（即$A$是$k$上有限型整环），$Z$是闭子集$V(r_1, \dots, r_\ell) \subseteq X$的一个不可约分支，我们需要证明：$\mathrm{codim}(Z, X) \leq \ell$。

第一步：按提示简化问题 #

Vakil建议先把问题简化到$V(r_1, \dots, r_\ell) = Z$的情形，也就是假设闭子集本身就是不可约的。为什么可以这么做？

因为$Z$是$V(r_1, \dots, r_\ell)$的不可约分支，对应$A$中的素理想$\mathfrak{p}$，且$\mathfrak{p}$是包含理想$(r_1, \dots, r_\ell)$的极小素理想（不可约分支对应极小素理想是仿射概形的基本性质）。我们考虑局部化环$A_\mathfrak{p}$：

• $A_\mathfrak{p}$是局部整环（因为$A$是整环，局部化后保持整性），极大理想为$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$；
• 理想$(r_1, \dots, r_\ell)$在$A_\mathfrak{p}$中的扩张$(r_1/1, \dots, r_\ell/1)$被$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$包含，且$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$是这个扩张理想的极小素理想；
• 而$\mathrm{codim}(Z, X) = \mathrm{height}(\mathfrak{p}) = \dim A_\mathfrak{p}$（这是整环中素理想余维数的局部化性质，笔记里已经铺垫过）。

此时在$A_\mathfrak{p}$中，$V(r_1/1, \dots, r_\ell/1)$的唯一不可约分支就是闭点$\mathrm{Spec}(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})$，这就等价于我们把问题转化为了“$V(r_1, \dots, r_\ell)$本身不可约”的情况——只要证明此时$\dim A_\mathfrak{p} \leq \ell$，原命题就成立。

第二步：应用定理11.2.9完成证明 #

接下来调用笔记中的定理11.2.9，先回忆这个定理的核心结论：

对于$k$上有限型整环$A$，任意素理想$\mathfrak{p}$，$\dim A_\mathfrak{p} = \mathrm{height}(\mathfrak{p})$；同时结合Krull主理想定理的推广（Noetherian环中，由$\ell$个元素生成的理想的极小素理想的高度不超过$\ell$）。

因为$A$是$k$上有限型整环，根据Hilbert基定理，$A$是Noetherian环，局部化后的$A_\mathfrak{p}$也是Noetherian局部环。而$\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$是包含由$\ell$个元素生成的理想$(r_1/1, \dots, r_\ell/1)$的极小素理想，根据上述定理，$\dim A_\mathfrak{p} = \mathrm{height}(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}) \leq \ell$。

再结合第一步的结论$\mathrm{codim}(Z, X) = \dim A_\mathfrak{p}$，就得到了$\mathrm{codim}(Z, X) \leq \ell$，完美解决问题！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ggg