关于下确界与上确界概念的困惑及相关命题求证求助

嘿，我目前对下确界（infimum）和上确界（supremum）的概念存在困惑，现有如下命题，想请教哪一个为真：

1. $\sup_{0 <ε<1/2}\sup(A_{ε})<1$
2. $0<ε_{1}<ε_{2}<\frac{1}{2}\implies \inf(A_{ε_1})\lt \inf(A_{ε_2})$
3. $0<ε_{1}<ε_{2}<\frac{1}{2}\implies\sup(A_{ε_1})>\sup(A_{ε_2})$
4. $\sup(A_{ε_1}\bigcap\mathbb Q)=\sup\Bigl(A_{ε_1}\bigcap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)\Bigr)$

我查阅了Rudin的分析教材以及其他实分析书籍，都没找到这类问题和相关概念的讲解，因此十分困惑，恳请大家帮忙解答！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user469754