如何撰写极限的序列刻画的陈述与证明以用于答疑链接参考？

经常在答疑时碰到不少同学对用序列刻画函数极限和连续性的方法摸不着头脑——这可是实分析里的核心工具，不管是做证明题还是理解极限本质都超级有用！今天就把这个概念拆解得明明白白，附完整证明，以后遇到相关问题直接翻这篇就行。

一、函数极限的序列刻画 #

定理陈述 #

设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，那么$\boldsymbol{\lim_{x \to x_0} f(x) = L}$的充要条件是：

对于任意收敛于$x_0$的序列${x_n}$（要求所有$x_n \neq x_0$），对应的函数值序列${f(x_n)}$都收敛于$L$。

证明过程 #

咱们分必要性和充分性两步来证：

1. 必要性（从极限定义推序列收敛）

已知$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$，根据函数极限的$\epsilon-\delta$定义：
对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x) - L| < \epsilon$。

现在任取一个收敛于$x_0$的序列${x_n}$（且$x_n \neq x_0$），根据序列收敛的定义：
对上面的$\delta > 0$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有$0 < |x_n - x_0| < \delta$（因为$x_n \to x_0$且$x_n \neq x_0$）。

把这两个结论结合起来：当$n > N$时，$|f(x_n) - L| < \epsilon$，这就说明${f(x_n)}$收敛于$L$。必要性得证。

2. 充分性（用反证法，从序列收敛推极限存在）

假设$\lim_{x \to x_0} f(x) \neq L$，根据$\epsilon-\delta$定义的否定形式：
存在某个$\epsilon_0 > 0$，对任意$\delta > 0$，都存在$x$满足$0 < |x - x_0| < \delta$，但$|f(x) - L| \geq \epsilon_0$。

现在我们构造一个序列${x_n}$：
取$\delta_n = \frac{1}{n}$（$n=1,2,3,...$），对每个$\delta_n$，都能找到对应的$x_n$满足$0 < |x_n - x_0| < \frac{1}{n}$，且$|f(x_n) - L| \geq \epsilon_0$。

显然这个序列${x_n}$收敛于$x_0$（因为$|x_n - x_0| < \frac{1}{n} \to 0$），但${f(x_n)}$却不收敛于$L$——这和我们“任意收敛于$x_0$的序列${x_n}$都有${f(x_n)} \to L$”的前提矛盾。

因此假设不成立，$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$。充分性得证。

二、函数连续性的序列刻画 #

定理陈述 #

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是：

对于任意收敛于$x_0$的序列${x_n}$，对应的函数值序列${f(x_n)}$都收敛于$f(x_0)$。

证明过程 #

其实这个结论是上面函数极限刻画的直接推论：
函数在$x_0$处连续的定义就是$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，把前面定理里的$L$换成$f(x_0)$，再注意到连续时函数在$x_0$处有定义，所以序列${x_n}$可以取到$x_0$（不过即使$x_n = x_0$，$f(x_n)=f(x_0)$，显然也满足收敛于$f(x_0)$）。

如果要单独证明的话，和上面的逻辑完全一致：

• 必要性：由连续性的$\epsilon-\delta$定义，推导出任意${x_n} \to x_0$都有${f(x_n)} \to f(x_0)$；
• 充分性：假设$f$在$x_0$不连续，构造出一个${x_n} \to x_0$但${f(x_n)}$不收敛于$f(x_0)$的序列，矛盾得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David Reed