圆锥体积相关速率问题验证：砂石堆高增长速率计算

将砂石以30 $ft^3$/min的速率从传送带倾倒，形成底面直径与高度始终相等的圆锥堆。求堆高为10 ft时，堆高的增长速率。以下是我的解法，是否正确？

你的解题思路梳理 #

首先你整理的已知条件完全没问题：

• 底面直径等于堆高，即 $2r = h$，因此半径 $r = \frac{h}{2}$
• 砂石倾倒的体积变化速率 $\frac{dV}{dt} = 30\ \frac{ft^3}{min}$
• 目标时刻的堆高 $h = 10\ ft$

体积公式替换与求导步骤 #

圆锥的标准体积公式是：
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
你把 $r = \frac{h}{2}$ 代入后，得到只含 $h$ 的体积表达式，这一步是关键的变量统一：
$$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$$

接下来对时间 $t$ 做隐函数求导，这一步也完全正确：
$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}$$

代入数值求解 #

把已知的 $\frac{dV}{dt}=30$ 和 $h=10$ 代入求导后的式子：
$$30 = \frac{\pi \cdot 10^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}$$
化简后得到：
$$\frac{dh}{dt} = \frac{30}{25\pi} = \frac{6}{5\pi} \approx 0.382\ \frac{ft}{min}$$

结论 #

你的整个解题过程逻辑通顺，步骤没有错误，最终结果是正确的👍

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622