求函数$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$作用下平行四边形集合A的像$f(A)$

我来帮你一步步解决这个问题～首先注意到函数$f(x,y)=\left(\frac{1}{2}x+y,x-2y\right)$是一个线性变换（没有常数项，所有项都是$x$和$y$的线性组合），这类变换的特点是会把直线映射成直线，平行四边形映射成平行四边形（因为变换的行列式不为0，不会发生退化）。

方法1：通过变量替换推导边界的像 #

设变换后的坐标为$(u, v) = f(x, y)$，也就是：

u = (1/2)x + y
v = x - 2y

我们可以先解出原坐标$(x,y)$关于$(u,v)$的表达式：

• 从第二个方程得$x = v + 2y$，代入第一个方程：
  $u = (1/2)(v + 2y) + y = v/2 + y + y = v/2 + 2y$
  整理得$y = (u/2) - (v/4)$
• 再把$y$代回$x = v + 2y$，得到$x = u + (v/2)$

现在看原集合A的四条边界直线，把它们转换成$(u,v)$的表达式：

• 边界1：$x - 2y = 0$
  代入$x$和$y$的表达式：$(u + v/2) - 2*(u/2 - v/4) = u + v/2 - u + v/2 = v = 0$
• 边界2：$x - 2y + 2 = 0$（即$x-2y=-2$）
  同理代入得$v = -2$
• 边界3：$x + 2y - 2 = 0$（即$x+2y=2$）
  代入得$(u + v/2) + 2*(u/2 - v/4) = u + v/2 + u - v/2 = 2u = 2$ → $u=1$
• 边界4：$x + 2y - 3 = 0$（即$x+2y=3$）
  同理代入得$2u=3$ → $u=3/2$

所以原平行四边形的四条边界映射成了$u=1$、$u=3/2$、$v=0$、$v=-2$这四条直线，它们围成的是一个矩形（属于平行四边形的一种），对应的像集就是：
$$f(A) = {(u, v) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq u \leq \frac{3}{2}, -2 \leq v \leq 0}$$

方法2：验证顶点的像 #

我们也可以直接计算原平行四边形四个顶点在$f$下的像，来验证结论：

• 顶点$(1, \frac{1}{2})$：$f(1, \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}1 + \frac{1}{2}, 1 - 2\frac{1}{2}) = (1, 0)$
• 顶点$(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$：$f(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}) = (\frac{1}{2}\frac{3}{2} + \frac{3}{4}, \frac{3}{2} - 2\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4} + \frac{3}{4}, \frac{3}{2} - \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, 0)$
• 顶点$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$：$f(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}) = (\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{5}{4}, \frac{1}{2} - 2\frac{5}{4}) = (\frac{1}{4} + \frac{5}{4}, \frac{1}{2} - \frac{5}{2}) = (\frac{3}{2}, -2)$
• 顶点$(0, 1)$：$f(0, 1) = (0 + 1, 0 - 2*1) = (1, -2)$

这四个像点正好是矩形$(1,0)$、$(\frac{3}{2},0)$、$(\frac{3}{2},-2)$、$(1,-2)$的四个顶点，和方法1的结论完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者alans