忠实模与整扩张：有限R-模S是否为忠实R-模？

嘿，这个问题抓准核心点就特别好解决！答案是肯定的，S一定是忠实R-模，咱们一步步来证：

要确认$S$是忠实$R$-模，本质就是要证明$\operatorname{ann}_R(S)=0$——也就是找不到$R$里的非零元素$r$，能让$r$乘遍$S$都得0。

首先回忆整扩张的基本定义：$R\subseteq S$是环扩张，意味着$R$的单位元就是$S$的单位元，换句话说，$1$这个元素是在$S$里的（作为$R$的元素自然嵌入到$S$中）。

现在假设真有个$r\in R$满足$rS=0$，那咱们看$S$里的元素$1$：
$$r = r\cdot1 = 0$$
这就直接说明，能让$rS=0$的$r$只能是$R$里的零元素，也就是$\operatorname{ann}_R(S)=0$。

所以结论很明确：$S$是忠实$R$-模。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dongrugose