多项式集合S₁是否张成P₂？如何找不在其张成中的向量？

首先得纠正你一个小误解：你提到计算行最简形后得到秩为3，但其实$P_2$是3维向量空间（标准基为${1, x, x^2}$，维度刚好是3）。当向量组的秩等于目标空间的维度时，这个向量组是可以张成整个空间的。咱们先验证一下秩的计算是否正确：

把$S_1$里的每个多项式对应到系数向量（按$1, x, x^2$的顺序）：

• $1+4x+5x^2$ → $(1,4,5)$
• $2+2x+3x^2$ → $(2,2,3)$
• $5+8x+10x^2$ → $(5,8,10)$
• $8+14x+19x^2$ → $(8,14,19)$

构造列向量矩阵并做行变换：

[1  2  5  8]
[4  2  8 14]
[5  3 10 19]

经过行化简后得到的行最简形是：

[1 0 0 2]
[0 1 0 3]
[0 0 1 0]

确实秩为3，刚好等于$P_2$的维度，所以$S_1$完全可以张成$P_2$，不存在$P_2$中不在$\text{Span}(S_1)$里的向量。

不过既然你问到了「如果向量组不能张成空间，如何找到不在张成里的向量」，我给你几个通用的方法：

方法1：利用正交向量构造 #

如果向量组的秩$r < 3$，那么矩阵$A$（列向量为多项式系数）的行空间的正交补空间是非零的。找一个非零向量$(p,q,r)$，使得它与$A$的所有行向量点积为0（即满足齐次线性方程组$A^T \begin{pmatrix}p\q\r\end{pmatrix} = 0$），那么对应的多项式$p+qx+rx^2$就不在$\text{Span}(S_1)$中。

方法2：行列式判断（针对3个向量的情况） #

如果集合里有3个多项式，把它们的系数向量拼成3×3矩阵，计算行列式：

• 若行列式不为0，说明这三个向量线性无关，能张成$P_2$；
• 若行列式为0，说明它们线性相关，张成的是2维子空间。此时可以用方法1找正交向量，或者随便取一个多项式，验证它的系数向量是否能被这三个向量线性表示。

方法3：代入特殊值验证 #

对任意多项式$f(x)$，代入几个特殊值（比如$x=0,1,-1$），得到数值向量$(f(0), f(1), f(-1))$。如果这个数值向量不在其他多项式对应数值向量的张成里，那么$f(x)$就不在$\text{Span}(S_1)$中。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David Stevens