如何不计算积分判断$ \int_0^1 \frac{(\ln x)^5}{\sqrt{ x}}\mathrm dx$的敛散性

嘿，欢迎新来的！完全理解你想不用计算积分就判断敛散性的需求，咱们用两种常用的方法来分析，都不用硬算结果：

方法一：极限形式的比较判别法 #

首先，这个积分是反常积分，奇点在$x=0^+$处（当x趋近于0时，$\ln x$趋向负无穷，$\sqrt{x}$趋向0，但得看两者组合的趋势）。

先回忆一个基础结论：对于积分$\int_0^1 x^a dx$，当$a > -1$时收敛，当$a \leq -1$时发散。

接下来要用到一个关键性质：对数函数的增长速度远慢于任何正幂函数——简单说，不管你取多小的正数$\varepsilon$，当$x \to 0^+$时，$(\ln x)^{k$（k是任意常数）都会被$x}\varepsilon$“压制”，也就是$\lim_{x \to 0^+} (\ln x)^k x^\varepsilon = 0$。

咱们选$\varepsilon = \frac{1}{4}$，然后看被积函数和$x^{-\frac{1}{2} + \varepsilon} = x^{-\frac{1}{4}}$的比值：

\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{(\ln x)^5}{\sqrt{x}}}{x^{-\frac{1}{4}}} = \lim_{x \to 0^+} (\ln x)^5 x^{\frac{1}{4}} = 0

因为$\int_0^1 x^{-\frac{1}{4}} dx$是收敛的（$-\frac{1}{4} > -1$），根据极限形式的比较判别法：如果被积函数的绝对值在奇点附近比一个收敛积分的被积函数高阶无穷小，那么原积分收敛。所以这个积分是收敛的。

方法二：变量替换转化为Gamma函数形式 #

咱们做个变量替换：令$t = -\ln x$，那么$x = e^{{-t}$，当$x=0}+$时$t \to +\infty$，$x=1$时$t=0$，$dx = -e^{-t}dt$。代入原积分：

\int_0^1 \frac{(\ln x)^5}{\sqrt{x}} dx = \int_{+\infty}^0 \frac{(-t)^5}{\sqrt{e^{-t}}} (-e^{-t}) dt = (-1)^5 \int_0^{+\infty} t^5 e^{-\frac{t}{2}} dt

现在看右边的积分，这是Gamma函数的变形。Gamma函数$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1}e{-t}dt$的收敛性很明确：当$s > 0$时收敛。这里我们的积分里，$t^5 e^{-\frac{t}{2}}$在$t \to +\infty$时是指数衰减的（指数衰减比任何多项式增长都快），所以这个积分必然收敛，因此原积分也收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elyasaf Elbaz