求幂级数∑ₙ=0^∞ [n/(n²√n +1)]xⁿ的收敛性及收敛半径

嘿，我来帮你搞定这个问题～你用比值判别法卡住的那个极限其实有简单的处理方式，咱们一步步拆解：

一、先搞定收敛半径 #

首先先把通项系数简化一下：$n^2\sqrt{n}=n2 \cdot n^{1/2}=n{5/2}$，所以系数$a_n=\frac{n}{n^{5/2}+1}$，这样看起来清爽多了。

方法1：解决你卡住的比值极限 #

你之前写到的极限：
$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)(n^{5/2} + 1)}{n((n + 1)^{5/2} + 1)}$$

处理这种多项式比多项式的极限，核心就是抓最高次项，把分子分母都除以最高次幂：

• 分子展开后最高次是$n \cdot n^{5/2}=n{7/2}$
• 分母里$(n+1)^{{5/2}$的最高次是$n}{5/2}$，所以分母整体最高次是$n \cdot n^{5/2}=n{7/2}$

分子分母同除以$n^{7/2}$，变形后：
$$
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)(n^{5/2} + 1)}{n((n + 1)^{5/2} + 1)}&=\lim_{n \to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{n^{{5/2}}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{5/2} + \frac{1}{n^{5/2}}}\
\end{align*}
$$
当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n^{{5/2}}$都趋近于0，代入后极限就是$\frac{(1+0)(1+0)}{(1+0)}{5/2}+0}=1$。

所以收敛半径$R=\frac{1}{\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=1$，也就是说幂级数在$(-1,1)$内绝对收敛。

方法2：更快捷的阶比较法 #

其实还有更简单的方式：当$n$很大时，$n^{{5/2}+1$里的$+1$可以忽略，所以$a_n\sim\frac{n}{n}{5/2}}=\frac{1}{n^{3/2}}$（等价无穷大）。

用根值判别法的话，$\sqrt[n]{|a_n|}\sim\sqrt[n]{\frac{1}{n^{{3/2}}}=\frac{1}{n}{3/(2n)}}$，而$\lim_{n\to\infty}n^{{1/n}=1$，所以$\lim_{n\to\infty}n}{3/(2n)}=1$，因此$\lim\sqrt[n]{|a_n|}=1$，同样得到收敛半径$R=1$。

二、判断端点的收敛性 #

接下来看$x=1$和$x=-1$这两个端点：

1. $x=1$时的级数 #

此时级数为$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{n}{n}{5/2}+1}$，我们可以用比较判别法：
$$\frac{n}{n^{{5/2}+1}<\frac{n}{n}{5/2}}=\frac{1}{n^{3/2}}$$
而$\sum\frac{1}{n^{3/2}}$是p级数，$p=\frac{3}{2}>1$，是收敛的，所以原级数在$x=1$时绝对收敛。

2. $x=-1$时的级数 #

此时级数为$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{n}{n}{5/2}+1}(-1)^n$，它的绝对值级数就是上面$x=1$时的级数，已经证明是收敛的，所以这个交错级数也是绝对收敛的。

三、最终结论 #

• 绝对收敛域：$[-1,1]$
• 条件收敛域：无（两个端点都是绝对收敛，不存在条件收敛的点）
• 发散域：$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A. Lindberg